Sammensatte interesseøvelser

Sammensatt rente representerer korreksjonen som er brukt på et beløp som ble lånt eller brukt. Denne typen korreksjon kalles også renter på renter.

Som et innhold med stor anvendelighet, vises det ofte i konkurranser, opptaksprøver og på Enem. Bruk derfor spørsmålene nedenfor for å bekrefte din kunnskap om dette innholdet.

Kommenterte spørsmål

1) Enem - 2018

En låneavtale foreskriver at når en avbetaling betales på forhånd, vil det gis en rentenedsettelse i samsvar med forskuddsperioden. I dette tilfellet betales nåverdien, som er verdien på det tidspunktet, av et beløp som skal betales på en fremtidig dato. En nåverdi P sendt til sammensatt rente i rente i, i en periode n, produserer en fremtidig verdi V bestemt av formelen

I en låneavtale med seksti månedlige faste avdrag, på R $ 820,00, til en rente på 1,32% per måned, sammen med den tretti avbetaling, betales en annen avbetaling på forhånd, forutsatt at rabatten er større enn 25% av verdien av del.

Bruk 0.2877 som en tilnærming til og 0,0131 som en tilnærming til ln (1.0132).
Den første avdrag som kan forventes sammen med den 30. er

a) 56
b) 55
c) 52
d) 51.
e) 45

Se Svar

I det foreslåtte spørsmålet ønsker vi å finne ut hvilken avdrag, ved å bruke rentenedsettelse ved forskuddsbetaling, har det betalte beløpet en rabatt på mer enn 25%, det vil si:

Forenkling av brøkdelen (deling av topp og bunn med 25), og oppdag at beløpet som skal betales for forskuddsbetalingen skal være:

Den forventede avdraget tilsvarer den fremtidige verdien korrigert til nåverdien, det vil si diskontert 1,32% -renten når du betaler denne avdraget før løpetiden, det vil si:

Der n er lik perioden som skal forventes. Ved å erstatte dette uttrykket i det forrige, har vi:

Siden 820 vises på begge sider av ulikheten, kan vi forenkle, "kutte" denne verdien:

Vi kan invertere brøkene, og være forsiktige med å invertere tegnet på ulikhet. Så vårt uttrykk er:

Vær oppmerksom på at verdien vi vil finne er i eksponenten (n). Derfor, for å løse ulikheten, vil vi bruke den naturlige logaritmen (ln) på begge sider av ulikheten, det vil si:

Nå kan vi erstatte verdiene som er angitt i uttalelsen og finne verdien av n:

Ettersom n må være større enn verdien som er funnet, må vi forutse 22 avdrag, det vil si at vi betaler den 30. avbetaling sammen med den 52. (30 + 22 = 52).

Alternativ: c) 52

2) Enem - 2011

En ung investor må velge hvilken investering som gir ham den største økonomiske avkastningen i en investering på R $ 500,00. For å gjøre dette undersøker den inntekt og skatt som skal betales på to investeringer: sparing og CDB (bankinnskuddsbevis). Informasjonen som er innhentet er oppsummert i tabellen:

For den unge investoren, på slutten av en måned, er den mest fordelaktige applikasjonen

a) besparelser, da det vil utgjøre R $ 502,80.
b) besparelser, da det vil utgjøre et beløp på R $ 500,56.
c) CDB, da det vil utgjøre et beløp på R $ 504,38.
d) CDB, da det vil utgjøre et beløp på R $ 504,21.
e) CDB, da det vil utgjøre et beløp på R $ 500,87.

Se Svar

For å finne ut hva som er best avkastning, la oss beregne hvor mye hver vil gi på slutten av en måned. Så la oss starte med å beregne sparingsinntekten.

Med tanke på problemdataene har vi:

c = BRL 500,00
i = 0,560% = 0,0056 a.m.
t = 1 måned
M =?

Ved å erstatte disse verdiene i sammensatt renteformel har vi:

M = C (1 + i)^t
M_besparelser = 500 (1 + 0,0056)¹
M_besparelser = 500.1,0056
M_besparelser = BRL 502,80

Som i denne typen søknader er det ingen inntektsskatteavslag, så dette blir innløst beløp.

La oss nå beregne verdiene for CDB. For denne applikasjonen er rentesatsen lik 0,876% (0,00876). Ved å erstatte disse verdiene har vi:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = BRL 504,38

Dette beløpet vil ikke være beløpet mottatt av investoren, da det i denne applikasjonen er 4% rabatt, knyttet til inntektsskatt, som skal brukes på mottatt rente, som angitt nedenfor:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Vi må beregne 4% av denne verdien, bare gjør:

4,38.0,04 = 0,1752

Ved å bruke denne rabatten på verdien finner vi:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternativ: d) CDB, da det vil utgjøre et beløp på R $ 504,21.

3) UERJ - 2017

En kapital på C reais ble investert med en sammensatt rente på 10% per måned og genererte, i løpet av tre måneder, et beløp på 53 240 dollar. Beregn verdien, i reais, av startkapitalen C.

Se Svar

Vi har følgende data i problemet:

M = 53240,00 BRL
i = 10% = 0,1 per måned
t = 3 måneder
C =?

Ved å erstatte disse dataene i sammensatt renteformel har vi:

M = C (1 + i)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 ° C

4) Fuvest - 2018

Maria ønsker å kjøpe en TV som selges for R $ 1500,00 i kontanter eller i 3 månedlige rentefrie avdrag på R $ 500,00. Pengene som Maria satte av til dette kjøpet er ikke nok til å betale kontant, men hun oppdaget at banken tilbyr en økonomisk investering som tjener 1% i måneden. Etter å ha gjort beregningene konkluderte Maria med at hvis hun betaler den første avdraget og, samme dag, bruker den gjenværende beløp, vil du kunne betale de to gjenværende avdragene uten å måtte sette eller ta et øre ikke engang. Hvor mye satt Maria av til dette kjøpet, i reais?

a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1 485,20
d) 1 495,20
e) 1.490,20

Se Svar

I dette problemet må vi gjøre ekvivalensen av verdier, det vil si at vi kjenner den fremtidige verdien som må betales i hver avbetaling, og vi vil vite nåverdien (kapital som skal brukes).

For denne situasjonen bruker vi følgende formel:

Tatt i betraktning at søknaden skal gi BRL 500,00 på tidspunktet for betaling av den andre avdraget, som vil være 1 måned etter betaling av den første avdraget, har vi:

For å betale den tredje avbetalingen også på R $ 500,00, vil beløpet bli brukt i to måneder, så det anvendte beløpet vil være lik:

Dermed er beløpet Maria satt av til kjøpet lik summen av beløpene som er brukt med beløpet for den første avdraget, det vil si:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1 485,20

Alternativ: c) BRL 1 485,20

5) UNESP - 2005

Mário tok et lån på R $ 8.000,00 til 5% rente per måned. To måneder senere betalte Mário R $ 5.000,00 av lånet, og en måned etter denne betalingen betalte han all gjeld. Verdien av den siste betalingen var:

a) 3.015 BRL.
b) 3.820,00 BRL.
c) 4.011,00 BRL.
d) BRL 5011,00.
e) BRL 5 250,00.

Se Svar

Vi vet at lånet ble betalt i to avdrag, og at vi har følgende data:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 a.m.
V_F1 = 5000
V_F2 = x

Tatt i betraktning dataene og gjøre ekvivalensen mellom hovedsteder, har vi:

Alternativ: c) R $ 4011,00.

6) PUC / RJ - 2000

En bank tar en rente på 11% per måned på kassakredittjenesten. For hver 100 reais av kassekreditt belaster banken 111 den første måneden, 123,21 i den andre og så videre. For et beløp på 100 reais vil banken ved utgangen av ett år belaste omtrent:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

Se Svar

Fra informasjonen som er gitt i problemet, identifiserte vi at korreksjonen av beløpet som overtrekket belastet er av sammensatt rente.

Merk at beløpet for den andre måneden ble beregnet med tanke på beløpet som allerede er korrigert for den første måneden, det vil si:

J = 111. 0,11 = BRL 12,21

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Derfor, for å finne beløpet banken vil belaste på slutten av et år, la oss bruke sammensatte renteformel, det vil si:

M = C (1 + i)^t

Å være:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 per måned
t = 1 år = 12 måneder
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3498

Alternativ: e) 350 reais

For å lære mer om dette emnet, les også:

• Prosentdel
• Hvordan beregne prosentandel?
• Prosentvise øvelser
• Matematikkformler
• Matematikk i Enem