D'Alemberts teorem

---

O D'Alemberts teorem er vet om en polynomP (x) er delelig med et binomium av typen ax + b, selv før du utfører delingen mellom dem.

Teoremet lar oss med andre ord vite om resten R av divisjonen er lik null eller ikke. Denne teoremet er en umiddelbar konsekvens av hvile setning for deling av polynomer. Forstå hvorfor nedenfor.

hvile setning

Når man deler et polynom P (x) med et binomium av typen ax + b, er resten R lik verdien av P (x) når x er roten til binomialøksen + b.

Binomialens rot: ax + b = 0 ⇒ x = -b / a. Så av restsatsen må vi:

R = P (-b / a)

Se nå at hvis P (-b / a) = 0, så er R = 0 og hvis R = 0, har vi delbarhet mellom polynomene. Og det er akkurat det D'Alemberts setning forteller oss.

D'Alemberts teorem: hvis P (-b / a) = 0, er polynomet P (x) delbart med binomialøksen + b.

Eksempel 1

Kontroller at polynomet P (x) = 6x² + 2x er delbart med 3x + 1.

1.) Vi bestemmer roten til 3x + 1:

-b / a = -1/3

2) Vi erstatter x med -1/3 i polynomet P (x) = 6x² + 2x:

P (-1/3) = 6. (- 1/3) ² + 2. (- 1/3)
P (-1/3) = 6. (1/9) + 2. (- 1/3)
P (-1/3) = 6/9 - 2/3
P (-1/3) = 2/3 - 2/3
P (-1/3) = 0

Siden P (-1/3) = 0, er polynomet P (x) = 6x² + 2x delbart med 3x + 1.

Ta en titt på noen gratis kurs

• Gratis online inkluderende utdanningskurs
• Gratis online lekebibliotek og læringskurs
• Gratis online matematikkspillkurs i tidlig barndom
• Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs

Eksempel 2

Kontroller at polynomet P (x) = 12x³ + 4x² - 8x er delbart med 4x.

1.) Vi bestemmer roten til 4x:

-b / a = -0/4 = 0

Andre) Vi erstatter x med 0 i polynomet P (x) = 12x³ + 4x² - 8x:

P (0) = 12,0³ + 4,02 - 8,0
P (0) = 0 + 0 - 0
P (0) = 0

Siden P (0) = 0, er polynomet P (x) = 12x³ + 4x² - 8x delbart med 4x.

Eksempel 3

Kontroller at polynomet P (x) = x² - 2x + 1 er delbart med x - 2.

1.) Vi bestemmer roten til x - 2:

-b / a = - (- 2) / 1 = 2

Andre) Vi erstatter x med 2 i polynomet P (x) = x² - 2x + 1:

P (2) = 2 - 2,2 + 1
P (2) = 4-4 +1
P (2) = 1

Siden P (2) ≠ 0 er ikke polynomet P (x) = x² - 2x + 1 delbart med x - 2.

Du kan også være interessert:

• Polynomial divisjon - nøkkelmetode
• polynomfunksjon
• Polynomfaktoring

Passordet er sendt til e-posten din.