Summen av indre og ytre vinkler til en konveks polygon

Du konvekse polygoner er de som ikke har konkavitet. For å se om en polygon er konveks eller ikke, må vi observere om noe rett linjesegment med ender i figuren ikke passerer gjennom det ytre området.

I konvekse polygoner er det formler som lar deg bestemme summen av de indre og ytre vinklene. Sjekk ut!

Summen av de indre vinklene til en konveks polygon

Formelen for summen av de indre vinklene til en konveks polygon med n sider er:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Demonstrasjon:

Hvis vi ser, vil vi se at hver konveks polygon kan deles inn i et visst antall trekanter. Se noen eksempler:

Så, husk at summen av de indre vinklene til en trekant er alltid lik 180 °, kan vi se at summen av de indre vinklene i disse figurene ovenfor vil bli gitt av antall trekanter som figuren kan deles ganger 180 °:

firkant: 2 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
Pentagon: 3 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
Sekskant: 4 trekanter ⇒ $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

Så for å få en formel for å beregne summen av de indre vinklene til en konveks polygon, trenger vi bare å vite, generelt sett, hvor mange trekanter en konveks polygon kan deles inn i.

instagram story viewer

Hvis vi observerer, er det et forhold mellom denne størrelsen og antall sider av figurene. Antall trekanter er lik antall sider av figuren minus 2, det vil si:

$\ dpi {120} \ mathrm {Total \, av \, tri \ hat {a} vinkler = n - 2}$

Firkant: 4 sider ⇒ n - 2 = 4 - 2 = 2
Pentagon: 5 sider ⇒ n - 2 = 5 - 2 = 3
Sekskant: 6 sider ⇒ n - 2 = 6 - 2 = 4

Så generelt er summen av de indre vinklene til en konveks polygon gitt av: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

Hvilken er formelen vi ønsket å demonstrere.

Eksempel:

Finn summen av innvendige vinkler til en konveks ikosagon.

En ikosagon er en 20-sidig polygon, det vil si n = 20. La oss erstatte denne verdien i formelen:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

Derfor er summen av de indre vinklene til en konveks icosagon lik 3240 °.

Summen av polygonets utvendige vinkler

DE summen av de utvendige vinklene til en konveks polygon er alltid lik 360 °, det vil si:

$\ dpi {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

Demonstrasjon:

Ta en titt på noen gratis kurs

Gratis online inkluderende utdanningskurs
Gratis online lekebibliotek og læringskurs
Gratis online matematikkspillkurs i tidlig barndom
Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs

Vi vil demonstrere med eksempler at summen av de ytre vinklene til en konveks polygon ikke avhenger av antall sider på figuren og alltid er lik 360 °.

Firkant:

firkant Merk at hver indre vinkel danner en 180 ° vinkel med den ytre vinkelen. Så siden det er fire hjørner, blir summen av alle vinkler gitt av 4. 180° = 720°.

Dvs: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

Snart:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

En gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ , deretter:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

Pentagon:

I femkantet har vi 5 hjørner, så summen av alle vinkler er gitt av 5. 180° = 900°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . Deretter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . En gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ , deretter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Sekskant:

I sekskanten har vi 6 hjørner, så summen av alle vinkler er gitt av 6. 180° = 1080°. Snart: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . Deretter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . En gang $\ dpi {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ , deretter: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

Som du kan se, i alle tre eksemplene, er summen av de utvendige vinklene, $\ dpi {120} \ mathrm {S_e}$ , resulterte i 360 °.

Eksempel:

Summen av en polygons innvendige og utvendige vinkler er lik 1800 °. Hva er denne polygonen?

Vi har: $\ dpi {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . Å vite det i hvilken som helst polygon $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ , så har vi: