DE cosinus lov er trigonometrisk forhold brukes til å relatere sider og vinkler på en triangel hvilken som helst, det vil si den trekanten som ikke nødvendigvis har rett vinkel. Legg merke til følgende trekant ABC med målene markert:
DE lovFracosinus kan gis av ett av følgende uttrykkene:
De2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
B2 = den2 + c2 - 2 · a · c · cosβ
ç2 = b2 + den2 - 2 · b · a · cosθ
Observasjon: Det er ikke nødvendig å huske disse tre formlene. Bare vet at lovFracosinus kan alltid bygges. Legg merke til, i det første uttrykket, at α er vinkelen motsatt siden hvis mål er gitt av De. Vi starter formelen med firkanten på motsatt side av vinkelen som skal brukes i beregningene. Det vil være lik summen av kvadratene til de to andre sidene, minus to ganger produktet av de to sidene som ikke er motsatt denne vinkelen av cosinus av α.
På denne måten kan de tre formlene ovenfor reduseres til:
De2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα
Så lenge vi vet at “De" er målingen på motsatt side av "α", og at "b" og "c" er målene på de to andre sidene av triangel.
Demonstrasjon
Gitt triangel Enhver ABC, med tiltakene fremhevet i følgende figur:
Tenk på trekantene ABD og BCD dannet av høyden BD i trekanten ABC. Bruker Pythagoras teorem i ABD vil vi ha:
ç2 = x2 + h2
H2 = c2 - x2
Bruke samme teorem for triangel BCD, vi vil ha:
De2 = y2 + h2
H2 = den2 - y2
Å vite at det er2 = c2 - x2, vi vil ha:
ç2 - x2 = den2 - y2
ç2 - x2 + y2 = den2
De2 = c2 - x2 + y2
Merknad på bildet av triangel hvor b = x + y, hvor y = b - x. Ved å erstatte denne verdien i resultatet oppnådd før, vil vi ha:
De2 = c2 - x2 + y2
De2 = c2 - x2 + (b - x)2
De2 = c2 - x2 + b2 - 2bx + x2
De2 = c2 + b2 - 2bx
Fortsatt å se på figuren, legg merke til at:
cosα = x
ç
c · cosα = x
x = c · cosα
Ved å erstatte dette resultatet i forrige uttrykk, vil vi ha:
De2 = c2 + b2 - 2bx
De2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα
Dette er nøyaktig det første av de tre uttrykkene som er presentert ovenfor. De to andre kan fås analogt med denne.
Eksempel - På triangel beregne deretter mål på x.
Løsning:
Bruker lovFracosinus, merk at x er målingen på siden motsatt 60 ° vinkelen. Derfor bør det første "tallet" som vises i løsningen være det:
x2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °
x2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °
x2 = 200 - 200 · cos60 °
x2 = 200 – 200·1
2
x2 = 200 – 100
x2 = 100
x = ± √100
x = ± 10
Siden det ikke er noen negative lengder, bør resultatet bare være den positive verdien, dvs. x = 10 cm.
av Luiz Moreira
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm