D'Alemberts teorem

D'Alemberts setning er en umiddelbar konsekvens av resten av setningen, som er opptatt av inndelingen av polynom etter binomium av typen x - a. Resten teorem sier at et polynom G (x) delt på et binomium x - a vil ha resten R lik P (a), for
x = a. Den franske matematikeren D'Alembert beviste, under hensyntagen til setningen ovenfor, at et polynom hvilken som helst Q (x) som kan deles med x - a, det vil si at resten av divisjonen vil være lik null (R = 0) hvis P (a) = 0.
Denne setningen gjorde det lettere å beregne divisjonen av polynom med binomial (x –a), så det er ikke nødvendig å løse hele divisjonen for å vite om resten er lik eller forskjellig fra null.
Eksempel 1
Beregn resten av inndelingen (x² + 3x - 10): (x - 3).
Som D'Alemberts setning sier, vil resten (R) av denne inndelingen være lik:
P (3) = R
3² + 3 * 3-10 = R
9 + 9 - 10 = R
18 - 10 = R
R = 8
Så resten av denne divisjonen vil være 8.
Eksempel 2
Sjekk om x⁵ - 2x⁴ + x³ + x - 2 kan deles med x - 1.
I følge D'Alembert er et polynom delbart med et binomium hvis P (a) = 0.

P (1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P (1) = 1-2 + 1 + 1-2
P (1) = 3-4
P (1) = - 1
Siden P (1) ikke er null, vil ikke polynomet være delbart med binomialet x - 1.
Eksempel 3
Beregn verdien av m slik at resten av delingen av polynomet
P (x) = x⁴ - mx³ + 5x² + x - 3 av x - 2 er 6.
Vi har det, R = P (x) → R = P (2) → P (2) = 6
P (2) = 2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ - m * 2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 - 8m + 20 + 2-3 - 6
- 8m = 6-38 + 3
- 8m = 9-38
- 8m = - 29
m = 29/8
Eksempel 4
Beregn resten av inndelingen av 3x polynomet³ + x² - 6x + 7 x 2x + 1.
R = P (x) → R = P (- 1/2)
R = 3 * (- 1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3 * (- 1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

av Mark Noah
Uteksamen i matematikk
Brasil skolelag

Polynomer - Matte - Brasilskolen

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-dalembert.htm