Trekantet matrise: typer, determinant, øvelser

En matrise er trekantet når elementer over hoveddiagonalen eller elementer under hoveddiagonalen er alle null. Det er to mulige klassifikasjoner for denne typen matrikser: den første er når elementene over hoveddiagonalen er null, som setter opp en lavere trekantmatrise; det andre er når elementene under hoveddiagonalen er null, og setter opp en øvre trekantmatrise.

For å beregne determinanten til en trekantmatrise ved Sarrus 'regel, er det bare å utføre hoveddiagonalmultiplikasjonen, siden de andre multiplikasjonene alle vil være lik null.

Les også: Array - hva det er og eksisterende typer

Den trekantede matrisen er et spesielt tilfelle av matrisen.

Trekantede matrisetyper

For å forstå hva en trekantmatrise er, er det viktig å huske hva hoveddiagonalen til en firkantmatrise er, som er matrisen som har samme antall rader og kolonner. Matrisens hoveddiagonal er begrepene a._ij, hvor i = j, det vil si at de er begrepene der radnummeret er lik kolonnetallet.

Eksempel:

Begrepene på hoveddiagonalen er markert med rødt.

Når vi forstår hva en firkantmatrise er og hva den viktigste diagonalen er, la oss vite hva en trekantmatrise er og dens klassifiseringer. Det er to mulige klassifiseringer for den trekantede matrisen: Denedre trekantmatrise og øvre trekantmatrise.

• Nedre trekantet matrise: oppstår når alle termer over hoveddiagonalen er lik null og vilkårene under hoveddiagonalen er reelle tall.

Numerisk eksempel:

• Øvre triangulær matrise: oppstår når alle termer under hoveddiagonalen er lik null og vilkårene over hoveddiagonalen er reelle tall.

Numerisk eksempel:

diagonal matrise

Den diagonale matrisen er en spesielt tilfelle av trekantmatrise. I det er de eneste begrepene som ikke er null de som er inneholdt i hoveddiagonalen. Begrepene over eller under hoveddiagonalen er alle lik null.

Numeriske eksempler på diagonal matrise:

Determinant of a triangular matrix

Gitt en trekantet matrise når beregningen av determinanten til denne matrisen beregnes med Sarrus 'styre, kan du se at alle multiplikasjoner er lik null, bortsett fra multiplikasjonen av begrepet til hoveddiagonalen.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ + den₁₂ · A₂₃ · 0 + den₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ ·De₂₃ ·0 + den₁₁ · A₂₃ · 0 + den₁₂ · 0· A₃₃)

Vær oppmerksom på at i alle termer unntatt den første er null en av faktorene, og alt multiplikasjon med null er lik null, så:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Merk at dette er produktet mellom vilkårene i hoveddiagonalen.

Uavhengig av antall rader og kolonner en trekantet matrise har, dens determinant vil alltid være lik produktet av vilkårene i hoveddiagonalen.

Se også: Determinant - funksjon brukt på firkantede matriser

Triangular Matrix Properties

Den trekantede matrisen har noen spesifikke egenskaper.

• 1. eiendom: determinanten til en trekantmatrise er lik produktet av vilkårene til hoveddiagonalen.
• 2. eiendom: produktet mellom to trekantede matriser er en trekantet matrise.
• 3. eiendom: hvis en av begrepene til hoveddiagonalen til den trekantede matrisen er lik null, vil dens determinant være lik null, og følgelig vil den ikke være inverterbar.
• 4. eiendom: den omvendte matrisen til en trekantmatrise er også en trekantet matrise.
• 5. eiendom: summen av to øvre trekantede matriser er en øvre trekantet matrise; på samme måte er summen av to nedre trekantede matriser en lavere trekantmatrise.

løste øvelser

1) Gitt matrisen A, er verdien av determinanten av A:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Vedtak

Alternativ d.

Denne matrisen er lavere trekantet, så dens determinant er multiplikasjonen av termer på hoveddiagonalen.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Bedøm følgende uttalelser.

I → Hver kvadratmatrise er trekantet.

II → Summen av en øvre trekantmatrise med en nedre trekantmatrise er alltid en trekantmatrise.

III → Hver diagonal identitetsmatrise er en trekantet matrise.

Riktig rekkefølge er:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Vedtak

Alternativ d.

I → False, fordi hver trekantmatrise er firkantet, men ikke hver kvadratmatrise er trekantet.

II → Falsk, da summen mellom en øvre og nedre trekantmatrise ikke alltid resulterer i en trekantmatrise.

III → Sant, ettersom begrepene som er forskjellige fra diagonalen, er lik null.

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm