Vi vet hvordan gjenta arrangement, eller fullstendig ordning, alle de bestilte omgrupperingene som vi kan danne med k elementer i et sett med Nei elementer, med et element av Nei kan vises mer enn en gang. DE kombinatorisk analyse det er matematikkområdet som utvikler tellingsteknikker for å finne antall mulige klynger i visse situasjoner.
Blant disse grupperingene er det arrangementet med repetisjon, til stede for eksempel i lage passord, lisensplater, mellom andre. For å løse disse situasjonene bruker vi ordningsformelen med repetisjon som telleteknikk. Det er forskjellige formler for å beregne det gjentatte arrangementet og det ikke-gjentatte arrangementet, så det er viktig å vite hvordan man kan skille hver av disse situasjonene for å anvende riktig tellingsteknikk.
Les også: Grunnleggende prinsipp for telling - hovedbegrepet kombinatorisk analyse
Hva er ordning med repetisjon?
![Det er en ordning med repetisjon i produksjonen av kjøretøyplater. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
I hverdagen kommer vi over situasjoner som involverer sekvenser og grupperinger, som dukker opp i velg passord fra sosiale nettverk eller bank, og også i telefonnumre eller situasjoner som involverer køer. Uansett er vi omgitt av situasjoner som involverer disse grupperingene.
For eksempel er det på nummerplater, som består av tre bokstaver og fire tall unik streng etter tilstand som identifiserer hver av bilene, i dette tilfellet jobber vi med ordninger. Når det er mulig å gjenta elementene, jobber vi med hele arrangementet eller arrangementet med repetisjon.
Gitt et sett med Nei elementer, kjenner vi som arrangement med repetisjon alle grupperingene vi kan danne med k elementer av dette sett, der et element kan gjentas mer enn en gang. På bilskilt er det for eksempel antall mulige bilskilt vi kan danne tar hensyn til at de har tre bokstaver og fire tall, og at bokstavene og tallene kan gjentas.
For å beregne antall mulige gjentatte ordninger bruker vi en veldig enkel formel.
Arrangementsformel med repetisjon
For å finne hele ordningsbeløpet på Nei distinkte elementer hentet fra k i
Åh, i en gitt situasjon som tillater repetisjon av et element, bruker vi følgende formel:
LUFTNei,k = Neik
AR → arrangement med repetisjon
Nei → antall elementer i settet
k → antall elementer som velges
Se også: Enkel kombinasjon - tell alle delmengder av et gitt sett
Hvordan beregne det gjentatte ordningsnummeret
For å bedre forstå hvordan du bruker formelen for gjentatt arrangement, se eksemplet nedenfor.
Eksempel 1:
Et bankpassord har fem sifre som utelukkende består av tall, hva er antall mulige passord?
Vi vet at passordet er en fem-sifret streng og at det ikke er noen begrensning på repetisjoner, så vi vil bruke ordningsformelen med repetisjon. Brukeren må velge mellom 10 sifre, som vil komponere hvert av de fem sifrene i dette passordet, det vil si at vi vil beregne arrangementet med repetisjon av 10 elementer tatt hver femte.
LUFT10,5 = 105 = 10.000
Så det er 10.000 passordmuligheter.
Eksempel 2:
Å vite at bilskilt består av tre bokstaver og fire tall, hvor mange bilskilt er det mulig å danne?
Alfabetet vårt består av 26 bokstaver, og det er 10 mulige tall, så la oss dele inn i to komplette matriser og finne antall mulige matriser for bokstaver og tall.
LUFT26,3 = 26³ = 17.576
LUFT10,4 = 104 = 10.000
Dermed er den totale mulige ordningen:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Forskjellen mellom enkel ordning og gjentatt ordning
Å skille det enkle arrangementet fra arrangementet med repetisjon er viktig for å løse problemer om emnet. Det viktige for differensiering er å innse at når vi har å gjøre med en situasjon der det er omgrupperinger hvis orden er viktig, handler det om av et arrangement, og hvis disse omgrupperingene tillater repetisjon mellom vilkårene, er det et arrangement med repetisjon, også kjent som arrangement fullstendig. Når omgruppering ikke tillater repetisjon, det handler om en enkel ordning.
Formelen for det enkle arrangementet er forskjellig fra den vi bruker for gjentatt arrangement.
Vi har sett eksempler på gjentagende ordning tidligere, se nå et eksempel på enkel ordning
Eksempel:
Paulo vil legge på hyllen tre av sine 10 skolebøker, alle forskjellige fra hverandre, hvor mange måter kan han organisere disse bøkene på?
Merk at i dette tilfellet er rekkefølgen viktig, men det er ingen repetisjoner, da det er en enkel ordning. For å finne antall mulige grupperinger, må vi:
For å lære mer om denne andre formen for gruppering brukt i kombinatorisk analyse, les teksten: DEenkelt opplegg.
Øvelser løst:
Spørsmål 1 - (Enem) En bank ba sine kunder om å opprette et personlig sekssifret passord, som bare består av tall fra 0 til 9, for å få tilgang til sjekkkontoen via internett. Imidlertid anbefalte en spesialist i elektroniske sikkerhetssystemer at bankens ledelse registrerer brukerne på nytt, og ber om det hver av dem, opprettelsen av et nytt passord med seks sifre, som nå tillater bruk av de 26 bokstavene i alfabetet, i tillegg til sifrene fra 0 til 9. I dette nye systemet ble hver store bokstav ansett som å være forskjellig fra den små versjonen. I tillegg var bruk av andre typer tegn forbudt.
En måte å evaluere en endring i passordsystemet på er å sjekke forbedringskoeffisienten, som er årsaken til det nye antallet passordmuligheter i forhold til det gamle. Den anbefalte endringsforbedringskoeffisienten er:
Vedtak
Alternativ A
Det gamle passordet er en matrise med repetisjon, da det kan bestå av alle tall, så det er en matrise med 10 elementer tatt hver sjette.
LUFT10,6 = 106
Det nye passordet kan bestå av 10 sifre og også store bokstaver (26 bokstaver) og små bokstaver (26 bokstaver), så passordet har for hvert siffer totalt 10 + 26 + 26 = 62 muligheter. Siden det er seks sifre, vil vi beregne ordningen med repetisjon av 62 elementer tatt hver sjette.
LUFT62,6 = 626
DE grunnen til av det nye antallet passordmuligheter sammenlignet med det gamle er lik 626/106.
Spørsmål 2 - (Enem 2017) Et selskap vil bygge sitt nettsted og håper å tiltrekke seg et publikum på omtrent en million kunder. For å få tilgang til denne siden, trenger du et passord med et format som skal defineres av selskapet. Det er fem formatalternativer som tilbys av programmereren, beskrevet i tabellen, der "L" og "D" representerer henholdsvis stor bokstav og siffer.
Alfabetets bokstaver, blant de 26 mulige, samt sifrene, blant de 10 mulige, kan gjentas i et av alternativene.
Selskapet ønsker å velge et formatalternativ der antallet mulige forskjellige passord er større enn forventet antall kunder, men at dette tallet ikke overstiger det dobbelte forventede antallet kunder.
Vedtak
Alternativ E
Ved å beregne hver av mulighetene, ønsker vi å finne passordet som har mer enn en million muligheter og mindre enn to millioner muligheter.
I → LDDDDD
26 ·105 er større enn to millioner, så den tilfredsstiller ikke selskapets forespørsel.
II → DDDDDD
106 er lik en million, så det tilfredsstiller ikke selskapets forespørsel.
III → LLDDDD
26² · 104 er større enn to millioner, så den tilfredsstiller ikke selskapets forespørsel.
IV → DDDDD
105 det er mindre enn en million, så det tilfredsstiller ikke selskapets forespørsel.
V → LLLDD
26³ · 10² er mellom en million og to millioner, så denne passordmalen er ideell.
Bildekreditt
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm
