U irrationele nummers veroorzaakte lange tijd grote onrust bij wiskundigen. Vandaag, al goed gedefinieerd, kennen we als een irrationeel getal degene wiens decimale weergave is altijd een niet-periodieke decimaal. Het belangrijkste kenmerk van irrationele getallen, en wat ze anders maakt dan rationale getallen, is dat ze kan niet worden weergegeven door a fractie.
De studie van irrationele getallen werd verdiept toen bij het berekenen van problemen met de stelling van Pythagoras niet-exacte wortels werden gevonden. Het zoeken naar een oplossing voor deze onnauwkeurige wortels maakte het bestaan van niet-exacte tienden opmerkelijk periodiek, dat wil zeggen van getallen waarvan het decimale deel oneindig is en geen goede volgorde heeft. gedefinieerd. De belangrijkste irrationele getallen zijn niet-periodieke decimalen, niet-exacte wortels en π.
Lees ook: Vierkantswortel - geval van rooten waarbij de radicale index 2. is
Set van irrationele getallen
Vóór de studie van irrationele getallen werden reeksen getallen bestudeerd natuurlijk, gehele getallen en rationale getallen. Toen we dieper ingingen op de studie van de rechthoekige driehoek, werd het duidelijk dat: er zijn enkele wortels die geen exacte oplossing hebben, in het bijzonder was het mogelijk om te zien dat niet-exacte worteloplossingen getallen zijn bekend als niet-periodieke tienden.
Te midden van deze onrust hebben veel wiskundigen tevergeefs geprobeerd aan te tonen dat onnauwkeurige wortels rationale getallen zijn en wat kan worden weergegeven als een breuk, maar wat werd gerealiseerd was dat deze getallen hierin niet konden worden weergegeven represented het formulier. Omdat de verzameling van rationale getallen tot nu toe deze getallen niet bevatte, ontstond de behoefte om een nieuwe verzameling te creëren, de verzameling irrationele getallen.
Een getal is irrationeel als de decimale weergave een niet-periodieke decimaal is. |
Wat zijn irrationele getallen?
Om een irrationeel getal te zijn, moet het voldoen aan de definitie, dat wil zeggen de de decimale weergave is een niet-periodieke decimaal. Het belangrijkste kenmerk van niet-periodieke decimalen is dat ze niet kunnen worden weergegeven door middel van een breuk, wat aangeeft dat irrationele getallen het tegenovergestelde zijn van rationale getallen.
De belangrijkste nummers met deze functie zijn de wortels niet exact.
Voorbeelden:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Bij het zoeken naar niet-exacte worteloplossingen, dat wil zeggen, het uitvoeren van de decimale weergave van deze getallen, altijd we zullen een niet-periodieke decimaal vinden, waardoor deze getallen elementen zijn van de verzameling van irrationeel.
Naast niet-exacte wortels zijn er zelf niet-periodieke decimalen, als we bijvoorbeeld niet-exacte wortels berekenen, vinden we een niet-periodieke decimaal.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrationele getallen worden gewoonlijk weergegeven door Griekse letters, omdat het niet mogelijk is om alle decimalen te schrijven.
De eerste is de π (lees: pi), aanwezig in de berekening van oppervlakte en omtrek van cirkels. Heeft een waarde gelijk aan 3,1415926535…
Naast π is een ander veel voorkomend getal ϕ (lees: fi). Hij wordt gevonden in problemen met de proportie gouden. Het heeft een waarde gelijk aan 1.618033...
Zie ook: Wat zijn priemgetallen?
rationaal en irrationeel getal
Bij het analyseren van de getallenreeksen, het is belangrijk om onderscheid te maken tussen rationale getallen en irrationele getallen. De vereniging van deze twee verzamelingen vormt een van de meest bestudeerde verzamelingen in de wiskunde, de verzameling reële getallen, dat wil zeggen de verzameling van echte getallen het is het samenvoegen van getallen die kunnen worden weergegeven als breuken (rationeel) met getallen die niet kunnen worden weergegeven als breuken (irrationeel).
In de set van rationele nummers, er zijn de gehele getallen, de natuurlijke, de exacte decimalen en de periodieke decimalen.
Voorbeelden van rationale getallen:
-60 → geheel getal
2.5 → exact decimaal
5.1111111… → periodiek decimaal
De irrationele getallen zijn niet-periodieke decimalen, dus er is geen getal dat tegelijkertijd rationeel en irrationeel is.
Voorbeeld van irrationele getallen:
1,123149… → niet-periodieke tienden
2.769235… → niet-periodieke tienden
Bewerkingen met irrationele getallen
optellen en aftrekken
DE toevoeging en de aftrekken van twee irrationele getallen is meestal net vertegenwoordigd, tenzij een decimale benadering van deze getallen wordt gebruikt, bijvoorbeeld:
a) √6 + √5
b) √6 – √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
We kunnen de waarden niet optellen of aftrekken vanwege de radicalen, dus hebben we de aangegeven bewerking gewoon gelaten.
In decimale representaties is het ook niet mogelijk om de exacte som uit te voeren, dus om twee irrationele getallen op te tellen, hebben we een rationale benadering nodig., en deze weergave is gekozen op basis van de behoefte aan nauwkeurigheid van deze gegevens. Hoe meer decimalen we beschouwen, hoe dichter we bij de exacte som komen.
observatie:de verzameling irrationele getallen is niet gesloten voor optellen of aftrekken, dit betekent dat de som van twee irrationele getallen kan resulteren in een getal dat niet rationaal is. Als we bijvoorbeeld het verschil van een irrationeel getal berekenen door het tegenovergestelde, moeten we:
a) √2 – √2 = 0
b) π + (-π) = 0
We weten dat 0 geen irrationeel getal is.
Vermenigvuldiging en deling
De vermenigvuldiging en divisie van irrationele getallen kan worden gedaan als de representatie a. is bestraling, maar net als optellen, in decimale representatie, dat wil zeggen, vermenigvuldigen of delen van twee decimalen, is een rationele benadering van dit aantal vereist.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Merk ook op dat, in voorbeeld b, 4 een rationaal getal is, wat betekent dat de vermenigvuldiging en deling van twee irrationele getallen niet gesloten zijn, dat wil zeggen dat ze een rationeel resultaat kunnen hebben.
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Bekijk de volgende cijfers:
ik) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) √36
VI) √12
Dit zijn irrationele getallen:
A) Alleen I, IV en V
B) Alleen II, III en VI
C) Alleen II, IV en VI
D) Alleen I, II, III en VI
E) Alleen III, IV, V en VI
Resolutie
alternatief B
I → het getal is exact decimaal, rationaal.
II → het getal is een niet-periodieke, irrationele decimaal.
III → π is irrationeel, en zijn dubbel, dat wil zeggen 2π, is ook irrationeel.
IV → het getal is een periodieke, rationele decimaal.
V → exacte, rationele wortel.
VI → wortel niet exact, irrationeel.
Vraag 2 - Beoordeel de volgende uitspraken:
I - De verzameling reële getallen is de vereniging van rationeel en irrationeel;
II – De som van twee irrationele getallen kan een rationaal getal zijn;
III – Tienden zijn irrationele getallen.
Als we de verklaringen analyseren, kunnen we zeggen dat:
A) Alleen bewering I is waar.
B) Alleen stelling II is waar.
C) Alleen stelling III is waar.
D) Alleen beweringen I en II zijn waar.
E) Alle beweringen zijn waar.
Resolutie
alternatief D
I → Waar, omdat de definitie van de verzameling reële getallen de unie is tussen rationeel en irrationeel.
II → Het is waar, als we een getal toevoegen aan het tegenovergestelde ervan, krijgen we als resultaat het getal 0, dat rationaal is.
III → Valse, niet-periodieke tienden zijn irrationeel.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
