De motivatie voor de studie van bewerkingen tussen sets komt voort uit het gemak waarmee ze alledaagse numerieke problemen oplossen. We zullen enkele grafische hulpmiddelen gebruiken, zoals de Venn diagram-Euler, om de hoofdbewerkingen tussen twee of meer te definiëren sets, namelijk: vereniging van verzamelingen, kruising van verzamelingen, verschil van verzamelingen en complementaire verzamelingen.
vereniging van verzamelingen
De vereniging tussen twee of meer sets zal een nieuwe set zijn die bestaat uit elementen die behoren tot ten minste één van de betreffende sets. Formeel wordt de unie set gegeven door:
Laat A en B twee verzamelingen zijn, de vereniging daartussen wordt gevormd door elementen die bij verzameling A of verzameling B horen.
Met andere woorden, sluit je gewoon aan bij de elementen van A met die van B.
Voorbeeld:
a) Beschouw de verzamelingen A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} en B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:
A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b) A = {x | x is een natuurlijk even getal} en B {y | y is een natuurlijk oneven getal}
De vereniging van alle natuurlijke even en alle natuurlijke kansen resulteert in de hele reeks natuurlijke getallen, dus we moeten:
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Snijpunt van verzamelingen
De kruising tussen twee of meer sets zal ook een nieuwe set zijn, gevormd door elementen die tegelijkertijd tot alle betrokken sets behoren. Formeel hebben we:
Laat A en B twee verzamelingen zijn, het snijpunt daartussen wordt gevormd door elementen die bij verzameling A en verzameling B horen. We moeten dus alleen de elementen beschouwen die in beide sets voorkomen.
Voorbeeld
a) Beschouw de verzamelingen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} en C = {0, –1, –2, –3 }
A B = {2, 4, 6}
A ∩ C = { }
B ∩ C = {0}
De verzameling die geen elementen heeft heet is lege verzameling en het kan op twee manieren worden weergegeven.
Lees ook: Definitie instellen
verschil van sets
Het verschil tussen twee verzamelingen, A en B, wordt gegeven door de elementen die bij A en horen Nee behoren tot B.
In het Venn-Euler-diagram is het verschil tussen verzamelingen A en B:
Voorbeeld
Beschouw de verzamelingen A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} en C = { }. Laten we de volgende verschillen bepalen.
A - B = {5}
EEN - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C - EEN = { }
Merk op dat we in set A - B in eerste instantie set A nemen en de elementen uit set B "verwijderen". In de set A - C nemen we de A en "verwijderen" de leegte, dat wil zeggen geen elementen. Ten slotte, in C - A, nemen we de lege verzameling en "verwijderen" we de elementen uit A, die er op hun beurt niet meer waren.
Lees ook: Belangrijke opmerkingen over sets
Complementaire sets
Overweeg sets A en B, waarbij set A zich in set B bevindt, dat wil zeggen dat elk element van A ook een element van B is. Het verschil tussen de verzamelingen, B – A, wordt het complement van A ten opzichte van B genoemd. Met andere woorden, het complementaire wordt gevormd door elk element dat niet tot verzameling A behoort ten opzichte van verzameling B, waarin het is opgenomen.
Voorbeeld
Beschouw de verzamelingen A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} en B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Het complement van A ten opzichte van B is:
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Beschouw de verzamelingen A = {a, b, c, d, e, f} en B ={d, e, f, g, h, i}. Bepaal (A – B) U (B – A).
Oplossing
In eerste instantie zullen we de sets A – B en B – A bepalen en dan zullen we de unie tussen hen uitvoeren.
A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, ik}
A - B = {a, b,c}
B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}
B - A = {g, h, ik}
Daarom is (A - B) U (B - A):
{a, b, c} U {g, h, ik}
{a, b, c, g, h, ik}
vraag 2 – (Vunesp) Stel dat A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} en A – B = {a, b, c}, dan:
a) B = {f, g, h}
b) B = {d, e, f, g, h}
c) B = { }
d) B = {d, e}
e) B = {a, b,c, d,e}
Oplossing
alternatief b.
Als we de elementen in het Venn-Euler-diagram rangschikken, hebben we volgens de verklaring:
Daarom is de verzameling B = {d, e, f, g, h}.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
