Stel je voor dat je met knikkers speelt om driehoeken te vormen. Je kunt eerst bedenken dat een bal als een kleine driehoek is:
•
Dan plaats je er twee knikkers onder en vormen de drie hoekpunten van a driehoek:
•
• •
Als je er nog drie ballen onder plaatst, vormt het weer een driehoek:
•
• •
• • •
Bij elke stap van het toevoegen van ballen in verhouding tot het eerder geplaatste aantal, zullen er altijd driehoeken worden gevormd. Zie de driehoek gevormd door nog vier ballen toe te voegen:
•
• •
• • •
• • • •
Het totale aantal ballen in elke stap kenmerkt een klasse van getallen die de wordt genoemd driehoeksgetallen. De wiskundige Karl Friedrich Gauss ontdekte een formule om het totale bedrag in elke driehoek aan te geven, waarbij: s1overeenkwam met de eerste driehoek, s2, naar de tweede driehoek, enzovoort. De door Gauss beschreven sommen begonnen met: een en, in elke fase werd een nummer toegevoegd dat overeenkwam met één eenheid boven het laatst toegevoegde nummer:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
De resultaten van deze sommen waren de driehoeksgetallen: 1, 3, 6, 10, 15... Merk op dat er een patroon is vastgesteld in elk van deze bedragen. Als we goed kijken, kunnen we zien dat elk van hen een rekenkundige progressie van reden 1. Dus hier is de Gauss-som, wat vaststelt dat, in een constante verhoudingssom, als we het eerste element bij het laatste optellen, we hetzelfde resultaat zullen krijgen als het tweede element bij het voorlaatste optellen. Laten we eens kijken hoe het Gauss-somproces voor sommen plaatsvindt. s6 en s7:
Gauss-somproces toegepast op de som van driehoeksgetallen
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
als stop s6 en s7 we hebben de sommen van de afbeelding hierboven, laten we deze som reproduceren voor s8, S9, S10 en s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
We kunnen generaliseren om een bedrag te krijgen voor sNee:
sNee = N. (n+1), als n even is
2
sNee = (n - 1).(n+1) + (n - 1) + 1, als n oneven is
2 2
net als in nummer magie, kunnen we een ander interessant feit over driehoeksgetallen laten zien: de som van opeenvolgende driehoeksgetallen resulteert altijd in getallen die kunnen worden geclassificeerd als perfecte vierkanten, dat wil zeggen getallen met wortel vierkant. Laten we zien:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
De verkregen resultaten, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 en 121, zijn allemaal perfecte vierkanten.
Door Amanda Gonçalves
Afgestudeerd in wiskunde
Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijk:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Driehoekige nummers"; Braziliaanse School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Betreden op 27 juli 2021.
