U parallellogrammen zijn veelhoeken van vlakke geometrie op grote schaal verkend als veel voorkomende geometrische figuren in ons dagelijks leven. We definiëren een parallellogram als een veelhoek met that overstaande zijden evenwijdig, een eigenschap die resulteert in exclusieve eigenschappen.
De bijzondere gevallen van parallellogrammen zijn de vierkanten, rechthoeken en ruiten. Voor elk van deze polygonen zijn er specifieke formules voor het berekenen van oppervlakte en omtrek.
Lees ook: Cirkel en omtrek - geometrische vormen met veel functies
Elementen van een parallellogram
Om een parallellogram te zijn, de veelhoek moet tegenoverliggende zijden evenwijdig hebben. Als specifieke kenmerken moeten we:
Elk parallellogram bestaat uit vier zijden en de overstaande zijden zijn: parallellen.
Elk parallellogram heeft vier interne hoeken, en de som van deze hoeken is altijd gelijk aan 360º.
Elk parallellogram heeft twee diagonalen.
Onthoud dat parallellogrammen zijn bijzondere gevallen van vierhoeken, dus er zijn kenmerken die geërfd zijn van deze geometrische figuren, zoals het bestaan van twee diagonalen, vier zijden en vier hoeken, evenals de som van de binnen- en buitenhoeken is altijd gelijk aan 360º.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Eigenschappen van een parallellogram
1e eigendom: Overstaande zijden van een parallellogram zijn congruent, dat wil zeggen dat ze dezelfde maat hebben.
2e eigendom: Overstaande hoeken van een parallellogram zijn congruent en twee opeenvolgende hoeken zijn altijd aanvullend (de som is gelijk aan 180°).
Wetende dat AB en CD evenwijdig zijn, dan staan de zijden BC en AD dwars op AB en CD; bijgevolg, de hoeken gevormd (w en x) zijn aanvullend omdat het interne collaterale hoeken zijn. Verder is het mogelijk om aan te tonen dat hoeken x en z congruent zijn.
- 3e eigendom: De diagonalen van een parallellogram worden gehalveerd.
Wanneer we de twee diagonalen van een parallellogram tekenen, verdeelt hun ontmoetingspunt elk in zijn middelpunten.
AM = CM
BM=DM
Zie ook: Punt, lijn, vlak en ruimte: basisconcepten van geometrie
Oppervlakte van een parallellogram
Het gebied van een parallellogram, in het algemeen, wordt berekend door het product van de basis en de hoogte. Er zijn bepaalde gevallen (rechthoeken, ruiten en vierkanten) die specifieke formules hebben – ze zullen in deze tekst worden gepresenteerd – maar die voortkomen uit de algemene vorm.
A = b.h
b: basis
h: hoogte
Omtrek van een parallellogram
O omtrek is gegeven door som van alle kanten. Aangezien een parallellogram over het algemeen twee gelijke zijden heeft, kan de omtrek worden bepaald door:
P = 2 (a + b)
Speciale gevallen van parallellogrammen
Zoals we weten, moet de veelhoek, om een parallellogram te zijn, per definitie parallelle zijden hebben. Er zijn drie vierhoeken die worden behandeld als bijzondere gevallen van het parallellogram: de rechthoek, de ruit en het vierkant.
Plein
wij bellen plein een vierzijdige veelhoek met vier zijden en vier congruente hoeken - elke hoek is precies 90 graden. Aangezien het vierkant een parallellogram is, zijn alle eigenschappen geldig voor het vierkant.
Het gebied van een vierkant en zijn omtrek worden op dezelfde manier berekend als wat wordt gedaan met een parallellogram, maar aangezien alle zijden van het vierkant gelijk zijn, kunnen we de oppervlakte en omtrek van het vierkant als volgt weergeven:
A=l²
P = 4,1
Rechthoek
O rechthoek het is een parallellogram dat alle congruente hoeken heeft. Het krijgt deze naam omdat al je hoeken zijn recht, dat wil zeggen, de vier hoeken meten 90º. Het rechthoekgebied is identiek aan het parallellogramgebied, maar we kunnen de verticale zijde behandelen als de hoogte, deze staat immers loodrecht op de basis.
A=a.b
P= 2 (a + b)
Diamant
O diamant het is een parallellogram waarvan alle zijden congruent zijn. Merk op dat er geen beperking is op de hoeken, ze kunnen verschillend zijn of niet. Anders dan bij de vorige voorbeelden, is de berekening van het gebied van een diamant is gebaseerd op zijn diagonalen. Er is ook een zeer belangrijke relatie tussen de diagonalen van de diamant en zijn zijde.
D: grotere diagonaal
d: kleinere diagonaal
l: kant
Gegeven een willekeurige diamant, weten we dat de diagonalen elkaar snijden in het middelpunt en vier rechthoekige driehoeken vormen. Als je een van deze driehoeken analyseert, is het mogelijk om een Pythagoras relatie tussen de zijkant en de helft van elk van de diagonalen.
Ook toegang: omtreklengte en cirkelgebied
Relatie tussen parallellogrammen
Het is belangrijk om de definitie van het parallellogram goed te begrijpen, zodat er geen complicaties zijn tijdens de classificatie. Het is altijd goed om te onthouden dat elk parallellogram een vierhoek is, maar niet elke vierhoek is een parallellogram.
We kunnen ook stellen dat elke rechthoek, elk vierkant en elke ruit parallellogrammen zijn. Bovendien kunnen we, als we de speciale gevallen van parallellogrammen vergelijken, een andere relatie zien, omdat het kwadraat het heeft congruente hoeken, wat de definitie is van rechthoek, en ook congruente zijden, wat de definitie is van diamant. Als gevolg daarvan kunnen we zeggen dat: elk vierkant is een rechthoek en ook een diamant.
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Wetende dat de onderstaande figuur een parallellogram is, wat is dan de waarde van respectievelijk x, y en z?
a) 40.140 en 180
b) 30, 100 en 100
c) 25, 140 en 95
d) 30, 90 en 145
e) 45, 55 en 220
Resolutie
1e stap: Met behulp van de eigenschap parallellogram weten we dat overstaande hoeken gelijk zijn. Bij het analyseren van de afbeelding is het handiger om deze eigenschap te gebruiken bij de hoekpunten B en D, omdat ze dezelfde onbekende hebben.
2e stap: Wetende dat opeenvolgende hoeken aanvullend zijn en dat x = 25, is het mogelijk om de waarde van y te vinden.
3e stap: Omdat de hoeken van de hoekpunten C en A tegenovergesteld zijn, zijn ze congruent, dus we kunnen de waarde van z vinden.
alternatief C.
Vraag 2 - Bereken het parallellogramgebied (zijden gemeten in centimeters) hieronder.
a) 16 cm²
b) 32 cm²
c) 8 cm²
d) 64 cm²
e) 40 cm²
Resolutie
Om het gebied van het parallellogram te vinden, is het eerst nodig om de waarde van h te vinden. Merk op dat driehoek AEB een hypotenusa-rechthoek is die gelijk is aan 5, dus we kunnen de stelling van Pythagoras toepassen om de waarde van h te vinden.
alternatief B.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
