Bij het oplossen van een vergelijking van de 1e graad verkrijgen we een resultaat (dit resultaat is een numerieke waarde die, ter vervanging van het onbekende door het, we komen tot een numerieke gelijkheid), dit kan de wortel van de vergelijking of de waarheidsverzameling of de oplossingsverzameling van de vergelijking. Zie het voorbeeld:
2x - 10 = 4 het is een 1e graads vergelijking.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
2
S = 7
Daarom is 7 de ware verzameling van de vergelijking, oplossing of wortel van de vergelijking 2x - 10 = 4.
Als we de x (onbekend) vervangen door de wortel, bereiken we een numerieke gelijkheid, zie:
2. 7 - 10 = 4
14 – 10 = 4
4 = 4 is een numerieke gelijkheid, we nemen het echte bewijs dat 7 de wortel van de vergelijking is.
Het is door deze ware verzameling dat we de equivalente vergelijkingen identificeren, want wanneer de verzameling waarheid van een vergelijking is gelijk aan de verzameling waarheid van een andere vergelijking, we zeggen dat beide vergelijkingen zijn equivalenten. We kunnen dus equivalente vergelijkingen definiëren zoals:
Twee of meer vergelijkingen zijn alleen equivalent als hun waarheidsverzameling gelijk is.
Zie een voorbeeld van een equivalente vergelijking:
Gegeven de vergelijkingen 5x = 10 en x + 4 = 6. Om te controleren of ze equivalent zijn, moet men eerst de waarheid voor elk vinden.
5x = 10x + 4 = 6
x = 10: 5 x = 6 - 4
x = 2 x = 2
De twee oplossingen zijn gelijk, dus we kunnen zeggen dat de vergelijkingen 5x = 10 en x + 4 = 6 equivalent zijn.
Als we de twee vergelijkingen gelijk zouden stellen aan nul, zouden ze er als volgt uitzien:
5x = 10x + 4 = 6
5x – 10 = 0 x + 4 – 6 = 0
x – 2 = 0
We kunnen dus zeggen dat: 5x – 10 = x – 2 en 5x = 10 en x + 4 = 6 equivalent zijn, de twee manieren van antwoorden betekenen hetzelfde.
Hoe komen we van een vergelijking naar een equivalente vergelijking? Hiervoor moeten we de principes van gelijkheid gebruiken, deze principes worden zowel gebruikt om equivalente vergelijkingen te vinden als voor elke vorm van wiskundige gelijkheid.
Principes van gelijkheid
►Additief gelijkheidsbeginsel.
Dit principe zegt dat in een wiskundige gelijkheid als we dezelfde waarde toevoegen aan de twee leden van een vergelijking, we een vergelijking krijgen die equivalent is aan de gegeven vergelijking. Zie het voorbeeld:
Gegeven de vergelijking 3x – 1 = 8. Als we 5 toevoegen aan de twee leden van uw gelijkheid, hebben we:
3x - 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 komen we bij een andere vergelijking.
Volgens het additieve gelijkheidsbeginsel zijn de twee vergelijkingen equivalent. Als we de wortels van de twee vergelijkingen vinden, vinden we dat ze gelijk zijn, dan zullen we aangeven wat dit principe zegt dat de twee equivalent zijn. Zie de berekening van de wortels:
3x – 1 = 8 3x + 4 = 13
3x = 8 + 1 3x = 13 - 4
3x = 9 3x = 9
x = 9: 3 x = 9: 3
x = 3 x = 3
►Multiplicatieve gelijkheidsbeginsel.
Dit principe zegt dat wanneer we de twee leden van gelijkheid door dezelfde vermenigvuldigen of delen, getal, zolang dit verschilt van nul, krijgen we een andere vergelijking die gelijk is aan de vergelijking gegeven. Zie het voorbeeld:
Gegeven de vergelijking x - 1 = 2, is een manier om een equivalente vergelijking te vinden het multiplicatieve gelijkheidsbeginsel te gebruiken. Als we de twee leden van deze gelijkheid met 4 vermenigvuldigen, hebben we:
4. (x – 1) = 2. 4
4x – 4 = 8 komen we bij een andere vergelijking die equivalent is aan de vergelijking x – 1 = 2.
We weten al dat hun vergelijkingen equivalent zijn als hun wortels gelijk zijn. Laten we dus de wortels uit het bovenstaande voorbeeld berekenen om te zien of ze echt equivalent zijn.
x – 1 = 2 4x – 4 = 8
x = 2 + 1 4x = 8 + 4
x = 3 4x = 12
x = 12: 4
x = 3
De wortels zijn gelijk, dus we bevestigen het multiplicatieve principe van gelijkheid.
door Danielle de Miranda
Afgestudeerd in wiskunde
Brazilië School Team
Vergelijking - Wiskunde - Brazilië School
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm