de concepten van veelvouden en verdelers van een natuurlijk getal strekken zich uit tot de verzameling van hele getallen. Als we het hebben over veelvouden en delers, verwijzen we naar: numerieke sets die aan een aantal voorwaarden voldoen. Veelvouden worden gevonden na vermenigvuldiging met hele getallen, en delers zijn getallen die deelbaar zijn door een bepaald getal.
Hierdoor zullen we deelverzamelingen van de gehele getallen vinden, aangezien de elementen van de verzamelingen veelvouden en delers elementen zijn van de verzameling gehele getallen. Om te begrijpen wat priemgetallen zijn, is het noodzakelijk om het concept van delers te begrijpen.
veelvouden van een getal
worden De en B twee bekende gehele getallen, het getal De is een veelvoud van B als en slechts als er een geheel getal is k zoals dat De = B · k. Dus de set van veelvouden in Dewordt verkregen door te vermenigvuldigenDevoor alle gehele getallen, de resultaten hiervan vermenigvuldigingen zijn de veelvouden van De.
Laten we bijvoorbeeld de eerste 12 veelvouden van 2 opsommen. Hiervoor moeten we het getal 2 vermenigvuldigen met de eerste 12 hele getallen, als volgt:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Daarom zijn veelvouden van 2:
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Merk op dat we alleen de eerste 12 getallen hebben vermeld, maar we hadden er zoveel kunnen vermelden als nodig is, omdat de lijst met veelvouden wordt gegeven door een getal te vermenigvuldigen met alle gehele getallen. Dus, de verzameling veelvouden is oneindig.
Om te controleren of een getal al dan niet een veelvoud van een ander is, moeten we een geheel getal vinden, zodat de vermenigvuldiging ertussen resulteert in het eerste getal. Zie de voorbeelden:
→ Het getal 49 is een veelvoud van 7, omdat er een geheel getal is dat, vermenigvuldigd met 7, resulteert in 49.
49 = 7 · 7
→ Het getal 324 is een veelvoud van 3, want er is een geheel getal dat, vermenigvuldigd met 3, resulteert in 324.
324 = 3 · 108
→ Het nummer 523 Nee is een veelvoud van 2 omdat er is geen geheel getal wat, vermenigvuldigd met 2, 523 oplevert.
523 = 2 · ?
Lees ook: Eigenschappen van vermenigvuldiging die mentale berekening vergemakkelijken
Veelvouden van 4
Zoals we hebben gezien, moeten we om de veelvouden van het getal 4 te bepalen, het getal 4 vermenigvuldigen met hele getallen. Dus:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Daarom zijn veelvouden van 4:
M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Veelvouden van 5
Analoog hebben we veelvouden van 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
De veelvouden van 5 zijn dus: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, … }
scheidingstekens voor één getal
worden De en B twee bekende gehele getallen, laten we zeggen B is de deler van De als het nummer B is een veelvoud van De, dat is de divisie tussenin B en De is exact (moet vertrekken rust uit 0).
Zie enkele voorbeelden:
→ 22 is een veelvoud van 2, dus 2 is een deler van 22.
→ 63 is een veelvoud van 3, dus 3 is een deler van 63.
→ 121 is geen veelvoud van 10, dus 10 is geen deler van 121.
Om de delers van een getal op te sommen, moeten we zoeken naar de getallen die het delen. Kijken:
– Maak een lijst van de delers van 2, 3 en 20.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Merk op dat getallen in de lijst met delers altijd deelbaar zijn door het betreffende getal en dat: de hoogste waarde die in deze lijst verschijnt, is het nummer zelf., aangezien geen enkel getal groter dan het erdoor deelbaar zal zijn.
In delers van 30 is de grootste waarde in deze lijst bijvoorbeeld 30 zelf, aangezien geen enkel getal groter dan 30 daardoor deelbaar is. Dus:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Meer weten: Leuke weetjes over het delen van natuurlijke getallen
Eigendom van veelvouden en delers
Deze eigenschappen zijn gerelateerd aan: divisie tussen twee gehele getallen. Merk op dat wanneer een geheel getal een veelvoud is van een ander, het ook deelbaar is door dat andere getal.
Houd rekening met de delingsalgoritme: zodat we de eigenschappen beter kunnen begrijpen.
N = d · q + r, waarbij q en r gehele getallen zijn.
onthoud dat nee wordt genoemd van dividend;d, voor verdeler;q, voor quotiënt; en r, trouwens.
→ Eigenschap 1: Het verschil tussen het deeltal en de rest (N – r) is een veelvoud van de deler, of het getal d is een deler van (N – r).
→ Eigenschap 2: (N – r + d) is een veelvoud van d, dat wil zeggen, het getal d is een deler van (N – r + d).
Zie het voorbeeld:
– Wanneer we de deling van 525 door 8 uitvoeren, krijgen we quotiënt q = 65 en rest r = 5. We hebben dus het deeltal N = 525 en de deler d = 8. Zorg ervoor dat aan de eigenschappen wordt voldaan omdat (525 – 5 + 8) = 528 deelbaar is door 8 en:
528 = 8 · 66
priemgetallen
U priemgetallen zijn degenen die hebben als deler in hun lijst alleen het nummer 1 en het nummer zelf. Om te controleren of een getal priem is of niet, is een van de meest triviale methoden om de delers van dat getal op te sommen. Als getallen groter dan 1 en het betreffende getal verschijnen, is het geen priemgetal.
→ Controleer wat de priemgetallen tussen 2 en 20 zijn. Laten we daarvoor de delers van al deze getallen tussen 2 en 20 opsommen.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D(17) = {1, 17}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(19) = {1, 19}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Dus de priemgetallen tussen 2 en 20 zijn:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 en 19}
Merk op dat de set van enkele van de eerste priemgetallen is, deze lijst gaat maar door. Merk op dat hoe groter het getal, hoe moeilijker het wordt om te bepalen of het een priemgetal is of niet.
Lees verder: Irrationele getallen: getallen die niet in breuken kunnen worden weergegeven
Oefeningen opgelost
vraag 1 – (UMC-SP) Het aantal elementen in de verzameling priemdelers van 60 is:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 10
Oplossing
alternatief A
We zullen eerst de delers van 60 opsommen en dan kijken welke priemgetallen zijn.
D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Van deze getallen hebben we die priemgetallen zijn:
{2, 3, 5}
Daarom is het aantal priemdelers van 60 gelijk aan 3.
vraag 2 – Schrijf alle natuurlijke getallen kleiner dan 100 en veelvouden van 15.
Oplossing
We weten dat de veelvouden van 15 het resultaat zijn van het vermenigvuldigen van het getal 15 met alle gehele getallen. Aangezien de oefening vraagt om de natuurlijke getallen kleiner dan 100 te schrijven en die veelvouden zijn van 15, moeten we vermenigvuldig 15 met alle getallen groter dan nul, totdat we het grootste veelvoud voor 100 vinden, dus:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Daarom zijn natuurlijke getallen kleiner dan 100 en veelvouden van 15:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
vraag 3 – Wat is het grootste veelvoud van 5 tussen 100 en 1001?
Oplossing
Om het grootste veelvoud van 5 tussen 100 en 1001 te bepalen, identificeert u eenvoudig het eerste veelvoud van 5 van achter naar voren.
1001 is geen veelvoud van 5, aangezien er geen geheel getal is dat, vermenigvuldigd met 5, resulteert in 1001.
1000 is een veelvoud van 5, aangezien 1000 = 5 · 200.
Daarom is het grootste veelvoud van 5, tussen 100 en 1001, 1000.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm
