A numerieke volgorde is een reeks getallen die op een ordelijke manier zijn georganiseerd. De numerieke reeks kan worden samengesteld met behulp van verschillende criteria, bijvoorbeeld de reeks even getallen of de reeks veelvouden van 3. Wanneer we dit criterium met een formule kunnen beschrijven, noemen we deze formule de wet van de vorming van de numerieke reeks.
Lees ook: Verschillen tussen nummer, cijfer en cijfer
Samenvatting over numerieke volgorde
Nummerreeks is een lijst met nummers die in volgorde zijn gerangschikt.
De numerieke reeks kan verschillende criteria volgen.
De wet van het voorkomen van de numerieke reeks is de lijst met elementen die in de reeks voorkomen.
De reeks kan op twee manieren worden geclassificeerd. De één houdt rekening met het aantal elementen, de ander houdt rekening met gedrag.
Wat het aantal elementen betreft, kan de reeks eindig of oneindig zijn.
Wat het gedrag betreft, kan de reeks toenemend, constant, afnemend of oscillerend zijn.
Wanneer de numerieke reeks kan worden beschreven door een vergelijking, staat deze vergelijking bekend als de wet van de vorming van de numerieke reeks.
Wat zijn sequenties?
De sequenties zijn verzamelingen elementen die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. In ons dagelijks leven kunnen we verschillende situaties waarnemen waarbij sequenties betrokken zijn:
Volgorde van maanden: Januari, februari, maart, april,..., december.
Jaarvolgorde van de eerste 5 WK's van de 21e eeuw: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Er zijn verschillende andere mogelijke reeksen, zoals naamreeks of leeftijdsreeks. Wanneer er sprake is van een gevestigde orde, is er sprake van een opeenvolging.
Elk element van een reeks staat bekend als een term van de reeks, dus in een reeks is er de eerste term, de tweede term enzovoort. Over het algemeen, een reeks kan worden weergegeven door:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(tot 1\) → de eerste termijn.
\(a_2\) → de tweede termijn.
\(a_3\) → de derde termijn.
\(een\) → welke term dan ook.
Wet van voorkomen van de numerieke reeks
We kunnen reeksen van verschillende elementen hebben, zoals onder andere maanden, namen en dagen van de week. Areeks is een numerieke reeks als het om getallen gaat. We kunnen de reeks even getallen, oneven getallen vormen, priemgetallen, veelvouden van 5 enz.
De reeks wordt weergegeven met behulp van een gebeurteniswet. De wet van voorkomen is niets anders dan de lijst met elementen van de numerieke reeks.
Voorbeelden:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → reeks oneven getallen van 1 tot 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → reeks getallen die veelvouden zijn van 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → afwisselende reeks tussen 1 en -1.
Wat is de classificatie van de numerieke reeks?
We kunnen reeksen op twee verschillende manieren classificeren. De ene houdt rekening met het aantal elementen, en de andere houdt rekening met het gedrag van deze elementen.
→ Classificatie van de numerieke reeks volgens het aantal elementen
Wanneer we de reeks classificeren op basis van het aantal elementen, zijn er twee mogelijke classificaties: de eindige reeks en de oneindige reeks.
◦ Eindige nummerreeks
Een reeks is eindig als deze een beperkt aantal elementen bevat.
Voorbeelden:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Oneindige nummerreeks
Een reeks is oneindig als deze een onbeperkt aantal elementen bevat.
Voorbeelden:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Classificatie van de numerieke reeks volgens het gedrag van de reeks
De andere manier om te classificeren is op basis van sequentiegedrag. In dit geval kan de reeks toenemend, constant, oscillerend of afnemend zijn.
◦ Oplopende nummerreeks
De reeks neemt toe als een term altijd groter is dan zijn voorganger.
Voorbeelden:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Constante nummerreeks
De reeks is constant als alle termen dezelfde waarde hebben.
Voorbeelden:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Aflopende nummerreeks
De reeks neemt af als de termen in de reeks altijd kleiner zijn dan hun voorgangers.
Voorbeelden:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Oscillerende nummerreeks
De reeks oscilleert als er afwisselend termen zijn die groter zijn dan hun voorgangers en termen die kleiner zijn dan hun voorgangers.
Voorbeelden:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Wet van de vorming van de numerieke reeks
In sommige gevallen is het mogelijk om de reeks te beschrijven met behulp van een formule, maar dit is niet altijd mogelijk. De reeks priemgetallen is bijvoorbeeld een goed gedefinieerde reeks, maar we kunnen deze niet met een formule beschrijven. Omdat we de formule kenden, konden we de wet van het optreden van de numerieke reeks construeren.
Voorbeeld 1:
Reeks van even getallen groter dan nul.
\(a_n=2n\)
Let op bij het vervangen N voor een natuurlijk nummer (1, 2, 3, 4, ...), vinden we een even getal:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
We hebben dus een formule die de termen genereert van de reeks gevormd door even getallen groter dan nul:
(2, 4, 6, 8, ...)
Voorbeeld 2:
Volgorde van natuurlijke getallen groter dan 4.
\(a_n=4+n\)
Als we de termen van de reeks berekenen, hebben we:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
De wet van voorkomen schrijven:
(5, 6, 7, 8,…)
Zie ook: Rekenkundige progressie - een speciaal geval van numerieke reeks
Opgeloste oefeningen over numerieke volgorde
Vraag 1
Een numerieke reeks heeft een vormingswet gelijk aan \(a_n=n^2+1\). Als we deze reeks analyseren, kunnen we stellen dat de waarde van de vijfde term van de reeks zal zijn:
EEN) 6
B) 10
C) 11
D) 25
E) 26
Oplossing:
Alternatief E
Als we de waarde van de vijfde term van de reeks berekenen, krijgen we:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
vraag 2
Analyseer de volgende numerieke reeksen:
I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
We kunnen stellen dat sequenties I, II en III respectievelijk worden geclassificeerd als:
A) toenemend, oscillerend en afnemend.
B) afnemend, toenemend en oscillerend.
C) oscillerend, constant en toenemend.
D) afnemend, oscillerend en constant.
E) oscillerend, afnemend en toenemend.
Oplossing:
Alternatief C
Als we de sequenties analyseren, kunnen we stellen dat:
I. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Het oscilleert, omdat er termen zijn die groter zijn dan hun voorgangers en termen die kleiner zijn dan hun voorgangers.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Het is constant, omdat de termen van de reeks altijd hetzelfde zijn.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Het neemt toe, omdat de termen altijd groter zijn dan hun voorgangers.
