We weten hoe polynoom een uitdrukking die de algebraïsche som aangeeft van monomialen die niet vergelijkbaar zijn, dat wil zeggen, polynoom is een algebraïsche uitdrukking tussen monomen. Monomium is een algebraïsche term met een coëfficiënt en een letterlijk deel.
Als er vergelijkbare termen zijn tussen de polynomen, is het mogelijk om de vermindering van zijn voorwaarden optellen en/of aftrekken van twee veeltermen. Het is ook mogelijk om twee veeltermen te vermenigvuldigen via de distributieve eigenschap. De verdeling wordt uitgevoerd met behulp van de sleutelmethode.
Lees ook: Polynoomvergelijking - Vergelijking die wordt gekenmerkt door een polynoom gelijk aan 0
Wat zijn monomieën?
Om te begrijpen wat een polynoom is, is het belangrijk om eerst de betekenis van een monomiaal te begrijpen. Een algebraïsche uitdrukking staat bekend als een monomium wanneer deze heeft cijfers en letters en hun exponenten
alleen gescheiden door vermenigvuldiging. Het getal staat bekend als de coëfficiënt, en de letters en hun exponenten staan bekend als het letterlijke deel.Voorbeelden:
2x² → 2 is de coëfficiënt; x² is het letterlijke deel.
√5ax → √5 is de coëfficiënt; bijl is het letterlijke deel.
b³yz² → 1 is de coëfficiënt; b³yz² is het letterlijke deel.
Wat is een polynoom?
Een polynoom is niets anders dan de algebraïsche som van monomialen, dat wil zeggen, ze zijn meer monomials gescheiden door optellen of aftrekken van elkaar.
Voorbeelden:
ax² + bij + 3
5c³d – 4ab + 3c²
-2ab + b – 3xa
Over het algemeen kan een polynoom meerdere termen hebben, het wordt algebraïsch weergegeven door:
DeNeeXNee + de(n-1) X(n-1) + … + de2x² + a1x + a
Zie ook: Wat zijn de klassen van polynomen?
graad van een polynoom
Om de graad van het polynoom te vinden, laten we het in twee gevallen scheiden, wanneer het een enkele variabele heeft en wanneer het meer variabelen heeft. De graad van de polynoom wordt gegeven door de graad van de grootste van zijn monomials in beide gevallen.
Het is vrij gebruikelijk om met een polynoom te werken die slechts één variabele heeft. Wanneer dat gebeurt, O groter monomium mate die de graad aangeeft van de polynoom is gelijk aan de grootste exponent van de variabele:
Voorbeelden:
Enkele variabele veeltermen
a) 2x² – 3x³ + 5x – 4 → merk op dat de variabele x is en dat de grootste exponent ervan 3 is, dus dit is een polynoom van graad 3.
b) 2 jaar5 + 4y² – 2y + 8 → de variabele is y, en de grootste exponent is 5, dus dit is een polynoom van graad 5.
Wanneer de polynoom meer dan één variabele in een monomiaal heeft, is het nodig om de graad van deze term te vinden toevoegen-als de mate van de exponenten van elk van de variabelen. Dus de graad van de polynoom is in dit geval nog steeds gelijk aan de graad van de grootste monomiaal, maar het is noodzakelijk om ervoor te zorgen dat de exponenten van de variabelen van elke monomiaal worden opgeteld.
Voorbeelden:
a) 2xy + 4x²y³ – 5y4
Als we het letterlijke deel van elke term analyseren, moeten we:
xy → graad 2 (1 + 1)
x²y³ → graad 5 (2 + 3)
y³ → graad 3
Merk op dat de grootste term graad 5 heeft, dus dit is een polynoom van graad 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analyse van het letterlijke deel van elk monomium:
a²b → graad 3 (2 + 1)
ab² → graad 2 (1 + 1)
a²b² → graad 4 (2 + 2)
Het polynoom heeft dus graad 4.
Polynomen toevoegen
Naar de optellen tussen twee polynomen, laten we de. uitvoeren vermindering van soortgelijke monomials. Twee monomials zijn vergelijkbaar als ze gelijke letterlijke delen hebben. Wanneer dit gebeurt, is het mogelijk om de polynoom te vereenvoudigen.
Voorbeeld:
Laat P(x) = 2x² + 4x + 3 en Q(x) = 4x² – 2x + 4. Zoek de waarde van P(x) + Q(x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Vergelijkbare termen zoeken (die dezelfde letterlijke delen hebben):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Laten we nu de vergelijkbare monomials toevoegen:
(2+4)x² + (4-2)x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynoom aftrekken
Aftrekken is niet veel anders dan optellen. Het belangrijke detail is dat: eerst moeten we de tegenovergestelde polynoom schrijven voordat we de vereenvoudiging van soortgelijke termen uitvoeren.
Voorbeeld:
Gegevens: P(x) = 2x² + 4x + 3 en Q(x) = 4x² - 2x + 4. Bereken P(x) – Q(x).
De polynoom -Q(x) is het tegenovergestelde van Q(x), om het tegenovergestelde van Q(x) te vinden, draai je het teken van elk van zijn termen om, dus we moeten:
-Q(x) = -4x² +2x – 4
Dan berekenen we:
P(x) + (-Q(x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Door vergelijkbare termen te vereenvoudigen, hebben we:
(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x – 1
Polynomiale vermenigvuldiging
Om de vermenigvuldiging van twee polynomen uit te voeren, gebruiken we de bekende distributieve eigenschap tussen de twee veeltermen, waarbij de vermenigvuldiging van de monomialen van de eerste veelterm met die van de tweede wordt uitgevoerd.
Voorbeeld:
Laat P(x) = 2a² + b en Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Bereken P(x) · Q(x).
P(x) · Q(x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Als we de distributieve eigenschap toepassen, hebben we:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2e5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³
Nu, als ze bestaan, kunnen we vergelijkbare termen vereenvoudigen:
2e5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Merk op dat de enige gelijkaardige monomialen oranje gemarkeerd zijn, wat de onderlinge vereenvoudiging vereenvoudigt, we zullen de volgende polynoom als antwoord hebben:
2e5 + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2e5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Ook toegang: Hoe algebraïsche breukvermenigvuldiging te doen?
polynomiale deling
voer de uit deling van polynomen kan behoorlijk bewerkelijk zijn, we gebruiken wat wordt genoemd sleutels methode:, maar hier zijn verschillende methoden voor. De deling van twee polynomen het is alleen mogelijk als de graad van de deler kleiner is. Door de polynoom P(x) te delen door de polynoom D(x), zoeken we naar een polynoom Q(x), zodanig dat:
Door het delingsalgoritme hebben we dus: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).
P(x) → dividend
D(x) → deler
Q(x) → quotiënt
R(x) → rest
Bij het uitvoeren van de deling is de polynoom P(x) deelbaar door de polynoom D(x) als de rest nul is.
Voorbeeld:
Laten we werken door de polynoom P(x) = 15x² +11x + 2 te delen door de polynoom D(x) = 3x + 1.
Wij willen delen:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1e stap: we splitsen het eerste monomium van het dividend met de eerste van de deler:
15x²: 3x = 5x
2e stap: we vermenigvuldigen 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, en trekken het resultaat van P(x) af. Om de aftrekking uit te voeren, is het noodzakelijk om de tekens van het resultaat van de vermenigvuldiging om te keren en de polynoom te vinden:
3e stap: we voeren de deling van de eerste term van het aftrekresultaat uit door de eerste term van de deler:
6x: 3x = 2
4e stap: dus we hebben (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Daarom moeten we:
Q(x) = 5x + 2
R(x) = 0
Lees ook: Briot-Ruffini's praktische apparaat - verdeling van polynomen
Oefeningen opgelost
Vraag 1 - Wat moet de waarde van m zijn zodat de polynoom P(x) = (m² – 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m graad 2 heeft?
A) 3
B) -3
C) ±3
D) 9
E) -9
Resolutie
alternatief A
Om P(x) graad 2 te geven, moet de coëfficiënt van x³ gelijk zijn aan nul en moet de coëfficiënt van x² verschillend zijn van nul.
Dus we zullen doen:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ±3
Aan de andere kant hebben we dat m + 3 0.
Dus m ≠ -3.
We hebben dus als oplossing van de eerste vergelijking dat m = 3 of m= -3, maar voor de tweede hebben we m ≠ -3, dus de enige oplossing die ervoor zorgt dat P(x) graad 2 heeft, is: m = 3.
Vraag 2 - (IFMA 2017) De omtrek van de figuur kan worden geschreven door de polynoom:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolutie
alternatief D
Uit de afbeelding, wanneer we de gegeven lengte en breedte analyseren, weten we dat de omtrek de som van alle zijden is. Omdat de lengte en hoogte hetzelfde zijn, vermenigvuldigen we de som van de gegeven veeltermen met 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
