som en product Het is een methode die wordt gebruikt om de oplossingen van a te vinden vergelijking. We gebruiken de som en het product als methode om de wortels van a te berekenen 2e graads vergelijking, van het type ax² + bx + c = 0.
Dit is een interessante methode wanneer de oplossingen van de vergelijking zijn hele getallen. In gevallen waarin de oplossingen geen gehele getallen zijn, kan het behoorlijk ingewikkeld zijn om de som en het product te gebruiken, met andere eenvoudigere methoden om de oplossingen van de vergelijking te vinden.
Lees ook: Bhaskara - de bekendste formule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen
Samenvatting over som en product
- De som en het product is een van de methoden die worden gebruikt om de oplossingen van een complete kwadratische vergelijking te vinden.
- Door de som en het product, gegeven de vergelijking van de 2e graad ax² + bx + c = 0, hebben we:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- X1 Het is X2 zijn de oplossingen van de kwadratische vergelijking.
- a, b en c zijn de coëfficiënten van de 2e graads vergelijking.
Wat is som en product?
De som en het product is een van de methoden die we kunnen gebruiken om de oplossingen van een vergelijking te vinden. Gebruikt in 2e graads vergelijkingen, kunnen de som en het product een meer praktische methode zijn om de oplossingen van de te vinden vergelijking, omdat het bestaat uit het zoeken naar de getallen die voldoen aan de som- en productformule voor een gegeven vergelijking.
Som en productformule
In een kwadratische vergelijking, van het type ax² + bx + c = 0, met oplossingen gelijk aan x1 en x2, per som en product hebben we:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Hoe wortels berekenen met som en product?
Om de oplossingen te vinden, zoeken we eerst naar de gehele getallen waarvan het product gelijk is aan \(\frac{c}{a}\).
We weten dat de oplossingen van de vergelijking positief of negatief kunnen zijn:
- Positief product en positieve som: beide wortels zijn positief.
- Positief product en negatieve som: beide wortels zijn negatief.
- Negatief product en positieve som: één wortel is positief en de andere is negatief, en degene met de grootste module is positief.
- Negatief product en negatieve som: één wortel is positief en de andere is negatief, en degene met de grootste module is negatief.
Later, na het opsommen van alle producten die aan de vergelijking voldoen, analyseren we welke aan de vergelijking voldoet. somvergelijking, dat wil zeggen, wat zijn de twee getallen die voldoen aan de product- en somvergelijking tegelijkertijd.
Voorbeeld 1:
Zoek de oplossingen van de vergelijking:
\(x²-5x+6=0\)
Eerst vervangen we de som- en productformule. We hebben dat a = 1, b = -5 en c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Aangezien de som en het product positief zijn, zijn de wortels positief. Door het product te analyseren, weten we dat:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nu gaan we controleren welke van deze resultaten een som heeft gelijk aan 5, wat in dit geval is:
\(2+3=5\)
Dus de oplossingen van deze vergelijking zijn \(x_1=2\ en\ x_2=3\).
Voorbeeld 2:
Zoek de oplossingen van de vergelijking:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Eerst vervangen we de som- en productformule. We hebben a = 1, b = 2 en c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Aangezien de som en het product negatief zijn, hebben de wortels tegengestelde tekens en is degene met de grootste modulus negatief. Door het product te analyseren, weten we dat:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\links(-12\rechts)=-24\)
\(3\cdot\links(-8\rechts)=-24\)
\(4\cdot\links(-6\rechts)=-24\)
Laten we nu eens kijken welke van deze resultaten een som heeft gelijk aan -2, wat in dit geval is:
\(4+\links(-6\rechts)=-2\)
Dus de oplossingen van deze vergelijking zijn \(x_1=4\ en\ x_2=-6\) .
Lees ook: Hoe een onvolledige kwadratische vergelijking op te lossen
Opgeloste oefeningen over som en product
vraag 1
zijn j Het is z de wortels van vergelijking 4X2-3X-1=0, de waarde van 4(y+4)(z+4) é:
EEN) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Oplossing:
Alternatief A
Berekenen op som en product:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Dus we moeten:
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\links(-\frac{1}{4}+4\links (y+z\rechts)+16\rechts )\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\links(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ rechts)\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\links(-\frac{1}{4}+3+16\rechts)\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\links(-\frac{1}{4}+19\rechts)\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\links(\frac{76-1}{4}\rechts)\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\links (y+4\rechts)\links (z+4\rechts)=75\)
vraag 2
Gezien de vergelijking 2X2 + 8x + 6 = 0, laat S de som zijn van de wortels van deze vergelijking en P het product zijn van de wortels van de vergelijking, dan is de waarde van de bewerking (S - P)2 é:
EEN) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Oplossing:
Alternatief B
Berekenen op som en product:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Dus we moeten:
\(\links(-4-3\rechts)^2=\links(-7\rechts)^2=49\)
Door Raúl Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
