A bolvormige dop en de geometrische vaste stof verkregen wanneer een bol wordt onderschept door een vlak, waardoor deze wordt verdeeld in twee geometrische lichamen. De bolvormige kap wordt beschouwd als een rond lichaam omdat hij, net als de bol, een afgeronde vorm heeft. Om de oppervlakte en het volume van een bolkap te berekenen, gebruiken we specifieke formules.
Lees ook: Kegelstam - de geometrische vaste stof gevormd door de onderkant van de kegel wanneer een sectie evenwijdig aan de basis wordt gemaakt
Samenvatting over bolkap
- De bolvormige kap is een geometrische vaste stof die wordt verkregen wanneer de bol wordt gedeeld door een vlak.
- De belangrijkste elementen van de bolkap zijn de straal van de bol, de straal van de bolkap en de hoogte van de bolkap.
- De bolkap is geen veelvlak, maar een rond lichaam.
- Als het vlak de bol in tweeën deelt, vormt de bolvormige kap een halve bol.
- Het is mogelijk om de straal van de bolvormige kap te berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras, die als volgt is georganiseerd:
\(\links (R-h\rechts)^2+r^2=R^2\)
- De oppervlakte van de bolvormige kap kan worden berekend met de formule:
\(A=2\pi rh\ \)
- Het volume van de bolvormige kap kan worden berekend met de volgende formule:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\links (3r-h\rechts)\)
Wat is een bolvormige dop?
bolvormige dop is de geometrische vaste stof die wordt verkregen wanneer een deel van de bal gewoon vlak. Wanneer we de bol met een vlak doorsnijden, verdelen we deze bol in twee bolvormige kappen. Wanneer we de bol in tweeën delen, staat de bolvormige kap bekend als de halve bol.
Bolvormige kapelementen
Bij een bolkap zijn de belangrijkste elementen de straal van de bol, de straal van de bolkap en de hoogte van de bolkap.
- R → straal van de bol.
- r → straal van de bolkap.
- h → hoogte van de bolkap.
Is de bolkap een veelvlak of een rond lichaam?
We kunnen zien dat de dop een geometrische vaste stof is. Omdat het een ronde basis en een afgerond oppervlak heeft, de bolvormige kap wordt beschouwd als een rond lichaam, ook wel bekend als de vaste stof van de revolutie. Vermeldenswaard is dat de veelvlak heeft gezichten gevormd door veelhoeken, wat niet het geval is bij de bolvormige kap, die een basis heeft die wordt gevormd door een cirkel.
Hoe bereken je de straal van de bolkap?
Om de straallengte van de bolvormige kap te berekenen, het is noodzakelijk om de lengte van de hoogte h van de bolvormige kap en de lengte van de straal R van de bol te kennen, omdat, zoals we in de volgende afbeelding kunnen zien, er een Pythagoras-relatie is.
Merk op dat we een rechthoekige driehoek, de driehoek OO'B, met schuine zijde die R meet en benen die R - h en r meten. Het toepassen van de de stelling van Pythagoras, We moeten:
\(\links (R-h\rechts)^2+r^2=R^2\)
Voorbeeld:
Wat is de straal van een bolkap met een hoogte van 2 cm, gegeven dat de straal van de bol 5 cm is?
Oplossing:
De relatie van Pythagoras toepassen:
\(\links (R-h\rechts)^2+r^2=R^2\)
\(\links (5-2\rechts)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Hoe de oppervlakte van de bolvormige kap berekenen?
Om het gebied van de bolvormige kap te berekenen, het is noodzakelijk om de meting van de lengte van de straal R van de bol en de hoogte h van de dop te kennen. De formule die wordt gebruikt om de oppervlakte te berekenen is:
\(A=2\pi Rh\)
- R → straal van de bol.
- h → hoogte van de bolkap.
Voorbeeld:
Een bolvormige kap is verkregen uit een bol met een straal van 6 cm en een hoogte van 4 cm. Wat is dan de oppervlakte van deze bolvormige kap?
Oplossing:
Als we het gebied van de bolvormige kap berekenen, hebben we:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Hoe bereken je het volume van de bolvormige kap?
Het volume van de bolvormige kap kan op twee manieren worden berekend. De eerste formule is afhankelijk van de straal R van de bol en de hoogte h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\links (3 R-h\rechts)\)
Voorbeeld:
Wat is het volume van een bolkap verkregen uit een bol met een straal van 8 cm waarvan de hoogte van de bolkap 6 cm is?
Oplossing:
Omdat we de waarde van R en h kennen, gebruiken we de eerste formule.
R = 8
uur = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\links (3 R-h\rechts)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\links (3\cdot8-6\rechts)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\links (24-6\rechts)\)
\(V=12\pi\links (18\rechts)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
De andere formule voor het volume van de bolvormige kap houdt rekening met de bolvormige kapstraal r en de kaphoogte h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\links (3r^2+h^2\rechts)\)
Voorbeeld:
Wat is het volume van een bolkap met een straal van 10 cm en een hoogte van 4 cm?
Oplossing:
In dit geval hebben we r = 10 cm en h = 4 cm. Omdat we de waarde van de straal van de bolkap en de hoogte kennen, gebruiken we de tweede formule:
\(V=\frac{\pi h}{6}\links (3r^2+h^2\rechts)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\links (3{\cdot10}^2+4^2\rechts)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\links (3\cdot100+16\rechts)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\links (300+16\rechts)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\links (316\rechts)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\ca.210,7\ \pi\ cm³\)
Zie ook: Piramidestam - de geometrische vaste stof gevormd door de onderkant van de piramide wanneer een dwarsdoorsnede wordt genomen
Opgeloste oefeningen op bolvormige dop
vraag 1
(Enem) Om een kinderfeesttafel te versieren, gebruikt een chef-kok een bolvormige meloen met een diameter van 10 cm, die zal dienen als steun om verschillende snoepjes te spiesen. Hij zal een bolvormige dop van de meloen verwijderen, zoals weergegeven in de figuur, en om de stabiliteit van deze steun te garanderen, waardoor het moeilijk wordt voor de meloen om over de tafel te rollen, zal de chef zo snijden dat de straal r van het cirkelvormige snijgedeelte ten minste min 3cm. Aan de andere kant zal de baas zoveel mogelijk ruimte willen hebben in de regio waar de snoepjes worden gepost.
Om al zijn doelstellingen te bereiken, moet de chef-kok de bovenkant van de meloen afsnijden op een hoogte h, in centimeters, gelijk aan
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
Oplossing:
Alternatief C
We weten dat de diameter van de bol 10 cm is, dus de straal is 5 cm, dus OB = 5 cm.
Als de straal van de sectie precies 3 cm is, hebben we:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Daarom:
h + 4 = 5
uur = 5 – 4
u = 1
vraag 2
Een bolvormige kap heeft een oppervlakte van 144π cm². Wetende dat hij een straal heeft van 9 cm, is de hoogte van deze bolkap:
EEN) 8 cm
B) 10cm
B) 14 cm
D) 16cm
E) 22 cm
Oplossing:
Alternatief A
We weten dat:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
De hoogte is 8 cm.
Door Raúl Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Braziliaanse school - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
