DE proportie wordt gedefinieerd als de gelijkheid tussen twee redenen:, als deze gelijkheid waar is, dan zeggen we dat de getallen die de verhoudingen in de gegeven volgorde waren, evenredig zijn.
De studie van verhoudingen is essentieel voor wiskundige ontwikkeling, omdat ze ons in staat stellen lijstgrootheden, daarmee de problemen van ons dagelijks leven oplossen. Voorbeelden van verhoudingen zijn: schaal van een kaart, gemiddelde snelheid van een rover en dichtheid van een oplossing.
Lees ook: Problemen met fractionele getallen
Wat is reden en verhouding?
DE reden tussen twee getallen is dequotiënttussen hen in de volgorde waarin ze zijn gegeven. Laat a en b twee rationale getallen zijn, waarbij b verschilt van 0, de verhouding tussen a en b wordt gegeven door:
Wanneer je hebt twee redenen en beide zijn vergeleken worden voor een gelijkheid, dan we hebben een aandeel. Als de gelijkheid waar is, zijn de getallen proportioneel, anders zijn ze niet proportioneel.
U rationele nummersDe, B, ç en d ze zijn evenredig dan en slechts dan als de volgende gelijkheid waar is.
Op equivalente wijze kunnen we zeggen dat de gelijkheid alleen waar is als de kruisvermenigvuldiging waar is.
a · d = b · c |
Aandeel Eigenschappen
Overweeg de volgende verhouding tussen getallen: De, B, ç en d:
De volgende eigenschappen zijn dus geldig:
Eigendom 1 – Het product van de middelen is gelijk aan het product van de uitersten (kruisvermenigvuldiging).
Eigendom 2 – De reden tussen de som (of verschil) van de eerste twee termen en de eerste term is gelijk aan de verhouding van de som (of het verschil) van de laatste twee termen en de derde term.
Lees ook: Aandeeleigenschappen - wat zijn ze en hoe te berekenen?
Hoe proporties te berekenen
Om te controleren of te berekenen of de getallen in feite proportioneel zijn, past u gewoon de eerste eigenschap toe, als de gelijkheid waar is, dan zijn de getallen evenredig. Zie de voorbeelden:
voorbeeld 1
Controleer of de getallen 15, 30, 45 en 90 proportioneel zijn.
We moeten, in die volgorde, de verhoudingen samenvoegen en dan kruislings vermenigvuldigen.
Merk op dat de gelijkheid waar is, dus de getallen vormen, in die volgorde, een verhouding.
Voorbeeld 2
Van de getallen 2, 4, x en 32 is bekend dat ze proportioneel zijn. Bepaal de waarde van x.
Volgens de hypothese hebben we dat de getallen, in de volgorde waarin ze werden gepresenteerd, evenredig zijn, dus we kunnen de verhoudingen ertussen gelijkmaken en eigenschap 1 toepassen, zie:
Direct en omgekeerd evenredige hoeveelheden
Grootheid, in wiskunde, is het alles wat mogelijk is om te meten of te meten, bijvoorbeeld hoeveelheid, afstand, massa, volume etc. De hoeveelheden kunnen direct proportioneel (BBP) of omgekeerd evenredig (GIP) zijn, laten we eens kijken naar het verschil tussen beide:
Direct proportionele hoeveelheden
We zeggen dat twee of meer grootheden recht evenredig zijn als de verhouding van waarden van de eerste hoeveelheid is gelijk aan de waarden van de tweede hoeveelheid, enzovoorts. De massahoeveelheid is bijvoorbeeld evenredig met de Gewicht van een object, zie de tabel:
Massa (kg) |
Gewicht (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
Merk op dat de verhouding tussen de hoeveelheden altijd hetzelfde is:
Hetzelfde zal gebeuren als we de verhouding tussen de andere waarden realiseren.
Een andere manier om te weten of twee of meer grootheden recht evenredig zijn, is door de groei of afname van beide. Als bijvoorbeeld de ene hoeveelheid toeneemt, moet de andere ook toenemen als ze recht evenredig zijn. Laten we eens kijken naar het voorbeeld:
Zie in de massa x gewichtstabel dat hoe groter de massa van het object (↑), hoe groter het gewicht (↑), dus de hoeveelheden zijn recht evenredig.
Voorbeeld
De getallen x, t en 2 zijn recht evenredig met de getallen 5, 6 en 10. Bepaal de waarden van x en t.
Zoals het voorbeeld ons vertelde dat de getallen recht evenredig zijn, dus de verhouding ertussen is gelijk, als volgt:
Als we elk van de gelijkheden vermenigvuldigen, krijgen we:
5x = 5
x = 1
en
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1.2
Daarom x = 1 en t = 1,2.
Omgekeerd evenredige hoeveelheden
Twee of meer grootheden zijn omgekeerd evenredig als de verhouding tussen de waarden van de eerste gelijk is aan de inverse van de verhouding van de waarden van de tweede. We kunnen het op een andere manier interpreteren, als de ene hoeveelheid toeneemt (↑) en de andere hoeveelheid afneemt (↓), dan zijn ze omgekeerd evenredig. Zie het voorbeeld:
Snelheid en tijd zijn omgekeerd evenredig.
Snelheid (km/u) |
Tijd (uren) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
Merk op dat hoe sneller de snelheid van een bepaalde reis (↑), hoe korter de tijd voor die reis (↓). Zie ook dat als we de verhouding nemen tussen twee waarden van de eerste hoeveelheid en het omgekeerde van de verhouding van twee waarden van de tweede hoeveelheid, de gelijkheid waar zal zijn.
Voorbeeld
Verdeel het getal 120 in delen die omgekeerd evenredig zijn met de getallen 4 en 6.
Omdat we het getal 120 in twee delen willen splitsen en we ze niet kennen, laten we ze noemen De en 120 – een. Per definitie van omgekeerd evenredig is de verhouding tussen de eerste waarden gelijk aan de inverse van de verhouding van de laatste twee waarden. Dus:
Aangezien het andere deel 120 - a is, geldt:
120 - de
120 – 72
48
Dus door het getal 120 te delen in delen die omgekeerd evenredig zijn met de getallen 4 en 6, krijgen we 72 en 48.
Oefening opgelost
Vraag 1 – (Fuvest) In de volgende tabel is y omgekeerd evenredig met het kwadraat van x. Bereken de waarden van p en m.
X |
ja |
1 |
2 |
2 |
0 |
m |
8 |
Resolutie
Merk op dat de verklaring stelt dat de waarden van y omgekeerd evenredig zijn met het kwadraat van x, dat wil zeggen dat de verhouding van de y-waarden gelijk zal zijn aan de inverse van de x-kwadraat-waarden.
Laten we met dezelfde logica de waarde van m bepalen.
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
