Bij de studie van complexe getallen komen we de volgende gelijkheid tegen: i2 = – 1.
De rechtvaardiging voor deze gelijkheid wordt meestal geassocieerd met het oplossen van 2e graads vergelijkingen met negatieve vierkantswortels, wat een fout is. De oorsprong van de uitdrukking i2 = – 1 komt voor in de definitie van complexe getallen, een ander probleem dat ook veel twijfel oproept. Laten we de reden voor een dergelijke gelijkheid begrijpen en hoe deze ontstaat.
Laten we eerst enkele definities maken.
1. Een geordend paar reële getallen (x, y) wordt een complex getal genoemd.
2. Complexe getallen (x1ja1) en (x2ja2) zijn gelijk als en slechts dan als x1 = x2 en jij1 = ja2.
3. Optellen en vermenigvuldigen van complexe getallen worden gedefinieerd door:
(X1ja1) + (x2ja2) = (x1 + x2ja1 + ja2)
(X1ja1)*(X2ja2) = (x1*X2 - ja1*y2, x1*y2 + ja1*X2)
Voorbeeld 1. Overweeg z1 = (3, 4) en z2 = (2, 5), bereken z1 + z2 en z1*z2.
Oplossing:
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Met behulp van de derde definitie is het gemakkelijk om aan te tonen dat:
(X1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)
(X1, 0)*(x2, 0) = (x1*X2, 0)
Deze gelijkheden laten zien dat complexe getallen (x, y) zich met betrekking tot optellen en vermenigvuldigen gedragen als reële getallen. In deze context kunnen we de volgende relatie vaststellen: (x, 0) = x.
Met behulp van deze relatie en het symbool i om het complexe getal (0, 1) weer te geven, kunnen we elk complex getal (x, y) als volgt schrijven:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → wat de normaalvorm is van een complex getal.
Het complexe getal (3, 4) in normale vorm wordt dus 3 + 4i.
Voorbeeld 2. Schrijf de volgende complexe getallen in normaalvorm.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Merk nu op dat we i het complexe getal (0, 1) noemen. Laten we eens kijken wat er gebeurt bij het maken van i2.
We weten dat i = (0, 1) en dat i2 = ik * ik. Volg dat:
ik2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Met behulp van definitie 3 hebben we:
ik2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Zoals we eerder zagen, is elk complex getal van de vorm (x, 0) = x. Dus,
ik2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
We kwamen aan bij de beroemde gelijkheid i2 = – 1.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Door Marcelo Rigonatto
Specialist in statistiek en wiskundige modellering
Brazilië School Team
Complexe getallen - Wiskunde - Brazilië School
