Bij de studie van cirkels is een belangrijk concept dat bestudeerd moet worden dat van raaklijnen aan een cirkel. Om deze studie uit te voeren, is het noodzakelijk om de relatieve posities van een punt ten opzichte van een cirkel te begrijpen. Als je iets met dit onderwerp niet hebt bestudeerd, bekijk dan het artikel Relatieve posities tussen een punt en een cirkel.
Als we de positie van een punt ten opzichte van een cirkel observeren, kunnen we enkele feiten met betrekking tot raaklijnen concluderen. Het is bekend dat er drie relatieve posities zijn van een punt tot een cirkel. Voor elke positie hiervan kunnen we iets concluderen over de raaklijn die door dat punt gaat.
• Punt binnen de cirkel: je kunt geen raaklijn door dit punt trekken.
• Punt dat bij de cirkel hoort: door dit punt kunnen we alleen een raaklijn hebben, omdat dit het raakpunt is.
• Punt buiten de cirkel: door dit punt kunnen we twee lijnen trekken die de cirkel raken.
Daarom moeten we, om de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel door een bepaald punt te bepalen, noodzakelijkerwijs de relatieve positie van dat punt bepalen. Deze positie is afhankelijk van de afstand van het punt tot het middelpunt van de cirkel.
We moeten enkele belangrijke feiten over analytische meetkunde onthouden:
• De kortste afstand van een punt tot een lijn is een lijnstuk loodrecht op deze lijn;
• De raaklijn staat altijd loodrecht op de straal in zijn raakpunt.
Met betrekking tot de twee voorgaande feiten kan worden gesteld dat de afstand van de raaklijn tot het middelpunt gelijk moet zijn aan de straal.
Om de vergelijking van de raaklijn te bepalen, moeten we daarom de positie analyseren van het punt dat we zullen tekenen naar de lijn en bereken daarmee de afstand van de lijn die dit punt bevat ten opzichte van het middelpunt van de omtrek.
Voor een beter begrip van al deze concepten zullen we werken met voorbeelden die deze reflecties nodig hebben.
1) Bepaal de vergelijking(en) van de raaklijn(en) aan de gegeven cirkel, getrokken door het punt P.
een) vgl. omtrek: x2+ ja2 - 6x - 8j = 0 P (0,0)
Daarmee kunnen we de nodige informatie voor ons probleem extraheren:
C(3,4), r=5.
We moeten nu de relatieve positie van punt P(0,0) vinden:
Daarom is punt P het raakpunt.
Laten we de vergelijking van de rechte lijn door punt P bepalen.
Om de vergelijking van de lijn daadwerkelijk te bepalen, moeten we nog uitzoeken wat de helling van deze lijn is. Een van de feiten die we aan het begin van dit artikel zagen, was de loodrechtheid van de raaklijn op de straal van de cirkel. Punt P is een raakpunt, dus de helling van de lijn die door punt P en het middelpunt gaat, moet loodrecht op de raaklijn staan. Hiervoor hebben we een relatie tussen loodrechte hellingen.
Met andere woorden, het product van de hellingen van loodrechte lijnen is gelijk aan -1.
Om de helling van het pc-segment te bepalen, moeten we de volgende uitdrukking gebruiken:
Daarmee verkrijgen we de vergelijking van de raaklijn:
Een andere manier om de waarde van m te bepalen, is door de afstand van het midden tot de lijn te berekenen. Deze afstand is gelijk aan de straal. Laten we kijken:
Als het punt buiten de cirkel ligt, moeten we het raakpunt vinden met behulp van de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de raaklijn, dus we zullen de waarde van de hoekcoëfficiënt van de raaklijn bepalen, die op zijn beurt de vergelijking van de lijn zal bepalen raaklijn.
Door Gabriel Alessandro de Oliveira
Afgestudeerd in wiskunde
Brazilië School Team
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
