Progressies: wat zijn het, typen, formules, voorbeelden

We weten hoe progressie bijzondere gevallen van nummerreeksen. Er zijn twee gevallen van progressie:

• rekenkundige progressie

• geometrische progressie

Om een ​​progressie te zijn, moeten we de kenmerken van de reeks analyseren om te zien of er een reden is. wanneer de voortgang is rekenkundig, de reden is niets meer dan een constante die we aan een term toevoegen om zijn opvolger in de reeks te vinden; nu, bij het werken met een progressie geometrisch, rede heeft een vergelijkbare functie, alleen in dit geval is reden de constante term waarmee we een term in de reeks vermenigvuldigen om zijn opvolger te vinden.

Vanwege voorspelbaar gedrag van een progressie zijn er specifieke formules om elke term in deze reeksen te vinden, en het is ook mogelijk om een formule voor elk van hen (dat wil zeggen, één voor de rekenkundige progressie en één voor de geometrische progressie) om de som te berekenen VanNee eerste termen van deze progressie.

Lees ook: Functies - wat zijn ze en waarvoor dienen ze?

De hoeveelheid bonen per oogst gedraagt ​​zich als een geometrische progressie

nummerreeks

Om te begrijpen wat progressies zijn, moeten we eerst begrijpen wat ze zijn nummerreeksen. Zoals de naam al doet vermoeden, kennen we de getallenreeks a reeks nummers die een bestelling respecteren, goed gedefinieerd of niet. In tegenstelling tot de sets numeriek waarbij volgorde er niet toe doet, in een numerieke volgorde is volgorde essentieel, bijvoorbeeld:

De volgorde (1, 2, 3, 4, 5) is anders dan (5, 4, 3, 2, 1), die verschilt van de volgorde (1, 5, 4, 3, 2). Zelfs als de elementen hetzelfde zijn, omdat de volgorde anders is, hebben we verschillende reeksen.

Voorbeelden:

We kunnen reeksen schrijven waarvan de formaties gemakkelijk te zien zijn:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → reeks even getallen kleiner dan of gelijk aan 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regressieve reeks van oneven getallen van 17 tot 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → bekend als Fibonacci-reeks.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → hoewel het niet mogelijk is om deze reeks te beschrijven zoals de andere, is het gemakkelijk te voorspellen wat de volgende termen zullen zijn.

In andere gevallen, de reeksen kunnen totale willekeur in hun waarden hebbenHoe dan ook, om een ​​reeks te zijn, is het belangrijk om een ​​reeks geordende waarden te hebben.

tot 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Voor zover het niet mogelijk is te voorspellen wie de volgende termen in de letter b zijn, werken we nog aan een vervolg.

Over het algemeen, strings worden altijd weergegeven tussen haakjes ( ), op de volgende manier:

(De₁, een₂,De₃, een₄,De₅, een₆, een₇, een₈ …) → oneindige reeks

(De₁, een₂,De₃, een₄,De₅, een₆, een₇, een₈ … een_Nee) → eindige reeks

In beide hebben we de volgende weergave:

De₁ → eerste termijn

De₂ → tweede termijn

De₃ → derde termijn

.

.

.

De_Nee → nde termijn

Observatie: Het is van groot belang dat bij het weergeven van een reeks de gegevens tussen haakjes staan. Sequentienotatie wordt vaak verward met setnotatie. Een set wordt weergegeven tussen accolades en in de set is de volgorde niet belangrijk, wat in dit geval het verschil maakt.

(1, 2, 3, 4, 5) → volgorde

{1, 2, 3, 4, 5} → instellen

Er zijn bepaalde gevallen van sequentie die bekend staan ​​als progressies.

Zie ook: Wat is het basisprincipe van tellen?

Wat zijn progressies?

Een reeks wordt gedefinieerd als een progressie wanneer deze een. heeft regelmaat van de ene term naar de andere, bekend als reden. Er zijn twee gevallen van progressie, rekenkundige progressie en geometrische progressie. Om te weten hoe we elk van hen kunnen onderscheiden, moeten we begrijpen wat de reden voor een progressie is en hoe die reden interageert met de termen van de reeks.

Wanneer ik van de ene term naar de andere in de reeks een constante som, wordt deze reeks gedefinieerd als een progressie, en in dit geval is het a rekenkundige progressie. Deze waarde die we voortdurend toevoegen, staat bekend als de verhouding. Het andere geval, dat wil zeggen, wanneer de rij is a geometrische progressie, van de ene term naar de andere is er een vermenigvuldigen met een constante waarde. Analoog is deze waarde de verhouding van de geometrische progressie.

Voorbeelden:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → merk op dat we altijd 3 optellen van de ene term naar de andere, dus we hebben een rekenkundige progressie van de verhouding gelijk aan 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → in dit geval vermenigvuldigen we altijd met 10 van de ene term naar de andere, waarbij we te maken hebben met een meetkundig verloop van de verhouding 10.

c) (0, 2, 8, 26 …) → in het laatste geval is er maar één rij. Om de volgende term te vinden, vermenigvuldigen we de term met 3 en voegen we 2 toe. In dit geval, hoewel er een regelmaat is om de volgende termen te vinden, is het slechts een reeks, geen rekenkundige of meetkundige progressie.

rekenkundige progressie

Wanneer we met nummerreeksen werken, komen die reeksen waarin we hun volgende termen kunnen voorspellen vrij vaak terug. Om deze reeks te classificeren als a rekenkundige progressie, er moet een zijn reden een. Vanaf de eerste term is de volgende term geconstrueerd door de som van de vorige term met de reden r.

Voorbeelden:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)

Dit is een rij die kan worden geclassificeerd als rekenkundige progressie, omdat de reden: r = 3 en de eerste term is 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)

Deze reeks is niet voor niets een rekenkundige progressie. r = -5, en de eerste term is 7.

• Voorwaarden van een PA

In veel gevallen is het onze interesse om een ​​specifieke term in de progressie te vinden, zonder de hele reeks te hoeven schrijven. Als u de waarde van de eerste term en de verhouding kent, is het mogelijk om de waarde van elke term in een rekenkundige reeks te vinden. Om de termen van een rekenkundige progressie te vinden, gebruiken we de formule:

De_Nee = de₁+ (n - 1)r

Voorbeeld:

Zoek de 25e term van een P.A waarvan de verhouding 3 is en de eerste term 12 is.

Gegevens r = 3, de₁ = 12. We willen de 25e term vinden, dat wil zeggen, n = 25.

De_Nee = de₁+ (n - 1)r

De₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

De₂₅ = 12 + 24 · 3

De₂₅ = 12 + 72

De₂₅ = 84

• Algemene termijn van een P.A.

De algemene term formule is a manier om de formule van een AP-term te vereenvoudigen om een ​​progressieterm sneller te vinden. Zodra de eerste term en de reden bekend zijn, volstaat het om in de formule een term van een P.A. te vervangen om de algemene term van de rekenkundige reeks te vinden, die alleen afhangt van de waarde van Nee.

Voorbeeld:

Zoek de algemene term van een PA die heeft r = 3 en de₁ = 2.

De_Nee = 2 + (n -1) r

De_Nee = 2 + (n -1) 3

De_Nee = 2 + 3n – 3

De_Nee = 2n - 1

Dit is de algemene term van een P.A., die dient om elke term in deze progressie te vinden.

• Som van termen van een PA

DE som van termen van een PA het zou nogal omslachtig zijn als het nodig was om elk van de termen te vinden en op te tellen. Er is een formule voor het berekenen van de som van alles Nee eerste termen van een rekenkundige reeks:

Voorbeeld:

Zoek de som van alle oneven getallen van 1 tot 100.

We weten dat oneven getallen een rekenkundige reeks zijn van verhouding 2: (1, 3, 5, 7…99). In deze progressie zijn er 50 termen, aangezien, van 1 tot 100, de helft van de getallen even is en de andere helft oneven.

Daarom moeten we:

n = 50

De₁ = 1

De_Nee = 99

Ook toegang: 1e graads functie - praktisch gebruik van rekenkundige progressie

Geometrische progressie

Een string kan ook worden geclassificeerd als progressie geometrisch (PG). Om een ​​reeks een geometrische progressie te laten zijn, moet deze een reden hebben, maar in dit geval, om de volgende term uit de eerste term te vinden, voeren we de vermenigvuldiging van de verhouding met vorige term.

Voorbeelden:

a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Geometrische progressie van verhouding 2, en de eerste term is 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Geometrische progressie van verhouding 10, en de eerste term is 20.

• Looptijd van een PG

In een geometrische progressie vertegenwoordigen we de reden voor de letter wat. De term van een geometrische progressie kan worden gevonden door de formule:

De_Nee = de₁ · wat^{n - 1}

Voorbeeld:

Vind de 10e term van een PG, wetende dat wat = 2 en de₁ = 5.

De_Nee = de₁ · wat^{n - 1}

De₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

De₁₀ = 5 · 2⁹

De₁₀ = 5 · 512

De₁₀ = 2560

• Algemene termijn van een PG

Als we de eerste term en de reden kennen, is het mogelijk om de algemene termformule te genereren uit een meetkundige reeks die uitsluitend afhangt van de waarde van Nee. Hiervoor hoeven we alleen de eerste term en de verhouding te vervangen, en we zullen een vergelijking vinden die alleen afhangt van de waarde van Nee.

Gebruikmakend van het vorige voorbeeld, waar de verhouding 2 is en de eerste term 5 is, is de algemene term voor deze huisarts:

De_Nee = de₁ · wat^{n - 1}

De_Nee = 5 · 2^{n - 1}

• Som van termen van een PG

Het zou veel werk zijn om alle termen van een progressie toe te voegen. In veel gevallen is het tijdrovend om de hele reeks te schrijven om deze som te bereiken. Om deze berekening te vergemakkelijken, heeft de geometrische progressie een formule die dient om de. te berekenen som van Nee eerste elementen van een eindige PG:

Voorbeeld:

Zoek de som van de eerste 10 termen van de huisarts (1, 2, 4, 8, 16, 32 …).

Merk op dat de verhouding van deze PG gelijk is aan 2.

De₁ = 1

wat = 2

Nee = 10

Lees ook: Exponentiële functie - praktisch gebruik van geometrische progressie

opgeloste oefeningen

Vraag 1 - Wetenschappers observeren al enkele dagen een bepaalde bacteriecultuur. Een van hen analyseert de groei van deze populatie en hij merkte op dat er op de eerste dag 100 bacteriën waren; in de tweede, 300 bacteriën; in de derde, 900 bacteriën, enzovoort. Als we deze reeks analyseren, kunnen we zeggen dat het is:

A) een rekenkundige progressie van ratio 200.

B) een geometrische progressie van verhouding 200.

C) een rekenkundige progressie van de rede 3.

D) een geometrische progressie van verhouding 3.

E) een reeks, maar geen progressie.

Resolutie

Alternatief D.

Als we de reeks analyseren, hebben we de termen:

Merk op dat 900/300 = 3, evenals 300/100 = 3. Daarom werken we met een PG van verhouding 3, omdat we vanaf de eerste term met drie vermenigvuldigen.

Vraag 2 - (Enem – PPL) Voor een beginner in hardlopen werd het volgende dagelijkse trainingsplan voorgeschreven: 300 meter rennen op de eerste dag en 200 meter verhogen per dag vanaf de tweede. Om zijn prestaties te tellen, gebruikt hij een chip, bevestigd aan zijn sneaker, om de afgelegde afstand tijdens de training te meten. Bedenk dat deze chip in zijn geheugen maximaal 9,5 km hardlopen/wandelen opslaat en aan het begin van de training moet worden geplaatst en moet worden weggegooid nadat de ruimte voor gegevensreserve is uitgeput. Als deze atleet de chip vanaf de eerste trainingsdag gebruikt, hoeveel opeenvolgende dagen kan deze chip dan de kilometers van dat dagelijkse trainingsplan opslaan?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Resolutie

alternatief B.

Als we de situatie analyseren, weten we dat we een PA hebben met een reden van 200 en een aanvankelijk einde gelijk aan 300.

Verder weten we dat de som S_Nee = 9,5 km = 9500 meter.

Laten we met deze gegevens de term a. zoeken_Nee, wat het aantal kilometers is dat is geregistreerd op de laatste dag van opslag.

Het is ook de moeite waard eraan te denken dat elke term a_Nee kan worden geschreven als:

De_Nee = de₁ + (n - 1)r

Gegeven de vergelijking 200n² + 400n – 19000 = 0, kunnen we alle termen delen door 200, de vergelijking vereenvoudigen en vinden: n² + 2n – 95 = 0.

Voor delta en Bhaskara moeten we:

een = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

We weten dat 8,75 overeenkomt met 8 dagen en een paar uur. In dit geval is het aantal dagen waarop de meting kan worden uitgevoerd 8.

Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm