Trapeze: eigenschappen, oppervlakte, omtrek, voorbeelden

O trapeze is een foto van vlakke geometrie zeer aanwezig in ons dagelijks leven. Het gaat over een veelhoek met vier zijden, zijnde twee parallelle zijden (bekend als base major en base minor) en twee niet-parallelle zijden (schuine zijden). Zoals elke vierhoek heeft deze twee diagonalen en de som van de interne hoeken is altijd gelijk aan 360º.

Een trapeze kan worden geclassificeerd als: rechthoek trapeze, wanneer het twee rechte hoeken heeft; gelijkbenige trapeze, wanneer de niet-parallelle zijden congruent zijn, dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat; en ongelijke trapeze, wanneer alle zijden verschillende afmetingen hebben. De omtrek van een trapezium wordt berekend door de zijden bij elkaar op te tellen, en er zijn specifieke formules voor het berekenen van de oppervlakte en de Euler-mediaan van het trapezium.

Grote trapeze gevormd door verschillende geometrische vormen

Elementen van een trapeze

We definiëren als hele trapeze vierhoek die twee evenwijdige zijden heeft. De parallelle zijden staan bekend als base majeur en base mineur. Zoals elke vierhoek heeft deze twee diagonalen en de som van de interne hoeken is gelijk aan 360º.

instagram story viewer

De elementen van de trapeze zijn:

Vier kanten;
Twee zijden evenwijdig aan elkaar en twee niet evenwijdig;
Vier hoekpunten;
Vier interne hoeken, waarvan de som gelijk is aan 360º;
Twee diagonalen.

C, D, E, F: hoekpunten
B: grote trapezebasis
B: onderste voet van de trapeze
H: hoogte
L₁en ik₂: schuine zijden

Lees ook:Cirkel en omtrekken - platte figuren die twijfels kunnen oproepen

trapeze classificatie

Er zijn drie mogelijke classificaties voor een trapeze op basis van zijn vorm. Een trapezium kan rechthoek, gelijkbenig of ongelijkzijdig zijn.

rechthoek trapeze

Het heeft twee hoeken Rechtdoor.

gelijkbenige trapeze

Het heeft congruente schuine zijden, dat wil zeggen, niet-parallelle zijden hebben dezelfde afmeting.

Scalene trapeze

Het heeft allemaal verschillende kanten.

Trapezium eigenschappen

Als specifieke eigenschap van de trapeze kunnen we stellen dat de aangrenzende hoeken van niet-parallelle zijden hebben een som gelijk aan 180ºº.

a + d = 180º
b + c = 180º

Specifieke eigenschappen voor de gelijkbenige trapeze

Er zijn twee eigenschappen die specifiek zijn voor de gelijkbenige trapeze. De eerste is dat de basishoeken, evenals de niet-parallelle zijden, zijn congruent.

De tweede eigenschap van de gelijkbenige trapeze is dat wanneer we de hoogten plotten, we vormen twee driehoeken congruent, naast de mogelijkheid om de de stelling van Pythagoras in die driehoek.

Observatie: Er is een relatie in de grotere basis - het is geen eigenschap, maar het is een belangrijke relatie voor het oplossen van oefeningen - die we kunnen omschrijven als:

B = b + 2a

Zie ook: Gelijkzijdige driehoek - eigenschappen en bijzonderheden

Omtrek van de trapeze

De omtrek van een trapezium wordt berekend door alle zijden op te tellen.

P = B + b + L₁+ L₂

Voorbeeld

Wat zal de hoeveelheid draad zijn, in meters, om vijf bochten te maken in het terrein dat de vorm heeft van de scalene trapeze hieronder:

Resolutie

P = 18 + 13 + 7 + 9 = 47 meter.

Aangezien er vijf ronden zijn, is 5P = 5. 47 = 235 meter draad.

trapeze gebied

Om het trapeze-oppervlak te berekenen, is er een specifieke formule, die afhangt van de waarde van de bases en de hoogte.

Voorbeeld

In een glaswinkel worden de glazen op bestelling geproduceerd voor R$ 96,00 per m². Om het glas te bouwen dat op een tafel zal staan in de vorm van een trapeze (grootste voet is 1,3 m; kleinere basis meet 0,7 m; hoogte meet 1 m.), zal het bedrag dat aan het glas wordt besteed, zijn?

Resolutie

B = 1.3

b = 0,7

h = 1

Aangezien de tafel precies 1 m² is, wordt R$ 96,00 besteed.

Middelste basis van de trapeze

De middelste basis van de trapezius is het segment evenwijdig aan de basis majeur en basis mineur dat de middelpunten van de schuine zijden verbindt.

EN en F ze zijn middelpunten van hun respectieve zijden, en het segment gevormd door het verbinden van deze punten is het middelpunt van de basis. De lengte van het gemiddelde grondtal wordt berekend door het rekenkundig gemiddelde tussen het grootste grondtal en het kleinste grondtal:

Trapezius mediaan

Bekend als Euler's mediaan van de trapezius (M_en), het gaat om de recht segment gevormd door de verbinding tussen de middelpunten van de twee diagonalen van de trapeze.

Om de Euler-mediaanlengte te berekenen, is de formule als volgt:

Voorbeeld1

Zoek de lengte van de mediaan van de trapezius waarvan de basis 7 cm en 10 cm is.

Resolutie

Voorbeeld 2

Bereken de waarde van de grote basis en de kleine basis van het trapezium eronder, wetende dat M en N de middelpunten van de diagonalen zijn.

Resolutie

We weten dat B = 2x + 7, b = 3x -1 en M_en= 2, dus:

Aangezien x = 4, is het mogelijk om de grote basis en de kleine basis te vinden door x te substitueren.

Ook toegang: Punt, lijn, vlak en ruimte: basisconcepten van geometrie

opgeloste oefeningen

Vraag 1 - Wetende dat een trapezium een basis heeft groter dan 15 en een basis kleiner dan 7, is de waarde van het verschil tussen de lengte van zijn gemiddelde basis en zijn Euler-mediaan gelijk aan?

a) 11
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8

Resolutie

1e stap: bereken de gemiddelde basislengte.

2e stap: bereken de lengte van de Euler-mediaan.

3e stap: bereken het verschil tussen B_m in_en.

11 – 4 = 7

Daarom is het juiste alternatief de letter "d".

Vraag 2 - De basis van een gelijkbenige trapezius meet 6 cm en 14 cm, en een schuine zijde meet 5 cm, dus kan worden gezegd dat de oppervlakte van deze trapezius, in cm², is:

a) 28

b) 30

c) 32

d) 34

e) 40

Resolutie

Om het gebied van deze trapeze te berekenen, moeten we de hoogte vinden. Hiervoor zullen we een gelijkbenige trapeze tekenen met de gegeven informatie:

Hoe de oppervlakte te berekenen, we hebben de waarde van de twee basen en de waarde van. nodig H, die we nog niet weten, laten we de waarde vinden van De om de stelling van Pythagoras toe te passen op de CEP-driehoek.

We weten dat: