A raaklijn (afgekort als tg of tan) is een trigonometrische functie. Om de tangens van een hoek te bepalen, kunnen we verschillende strategieën gebruiken: bereken de verhouding tussen de sinus en cosinus van de hoek, als deze bekend zijn; gebruik een raaklijntabel of een rekenmachine; bereken de verhouding tussen het tegenoverliggende been en het aangrenzende been, als de betreffende hoek intern (acuut) is van onder andere een rechthoekige driehoek.
Lees ook: Waar wordt de trigonometrische cirkel voor gebruikt?
Onderwerpen van dit artikel
- 1 - Samenvatting over raaklijn
- 2 - Tangens van een hoek
- 3 - Tangens van opmerkelijke hoeken
-
4 - Hoe de raaklijn berekenen?
- → Grafiek van de raaklijnfunctie
- 5 - Wet van raaklijnen
- 6 - Trigonometrische verhoudingen
- 7 - Opgeloste oefeningen op raaklijn
samenvatting op raaklijn
Tangens is een trigonometrische functie.
De raaklijn van een binnenhoek aan een rechthoekige driehoek is de verhouding van de overstaande zijde tot de aangrenzende zijde.
De tangens van een hoek is de verhouding van de sinus en cosinus van die hoek.
De functie \(f (x)=tg\ x\) is gedefinieerd voor hoeken X uitgedrukt in radialen, zodanig dat cos \(cos\ x≠0\).
De grafiek van de tangensfunctie toont verticale asymptoten voor de waarden, waar \(x= \frac{π}2+kπ\), met k geheel, zoals \(x=-\frac{π}2\).
De wet van raaklijnen is een uitdrukking die in elke driehoek de raaklijnen van twee hoeken en de tegenoverliggende zijden van die hoeken met elkaar verbindt.
Raaklijn van een hoek
Als α één is hoek binnenkant van een rechthoekige driehoek, de tangens van α is de verhouding tussen de lengte van het tegenoverliggende been en de lengte van het aangrenzende been:
Voor elke hoek α is de tangens de verhouding tussen de sin α en de cosinus van α, waarin \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Opgemerkt moet worden dat als α een hoek is in het 1e of 3e kwadrant, de raaklijn een positief teken zal hebben; maar als α een hoek is van het 2e of 4e kwadrant, heeft de raaklijn een negatief teken. Deze relatie vloeit rechtstreeks voort uit de tekenregel tussen de tekens van sinus en cosinus voor elke α.
Belangrijk: Merk op dat de raaklijn niet bestaat voor waarden van α waar \(cos\ α=0\). Dit gebeurt voor hoeken van 90°, 270°, 450°, 630° enzovoort. Om deze hoeken op een algemene manier weer te geven, gebruiken we de notatie in radialen: \(\frac{ π}2+kπ\), met k geheel.
Niet stoppen nu... Er is meer na de publiciteit ;)
Raaklijn van opmerkelijke hoeken
De uitdrukking gebruiken \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), kunnen we de raaklijnen van vinden opmerkelijke hoeken, dit zijn de hoeken van 30°, 45° en 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Interessant: Daarnaast kunnen we de raakwaarden voor de hoeken van 0° en 90° analyseren, die ook veel worden gebruikt. Aangezien sin 0° = 0, concluderen we dat tan 0° = 0. Voor de hoek van 90°, aangezien cos90° = 0, bestaat de raaklijn niet.
Hoe bereken je de raaklijn?
Om de raaklijn te berekenen, gebruiken we de formule tg α=sin αcos α, gebruikt voor het berekenen van de raaklijn van elke hoek. Laten we hieronder enkele voorbeelden bekijken.
voorbeeld 1
Zoek de tangens van hoek α in de onderstaande rechthoekige driehoek.
Oplossing:
Wat betreft de hoek α, de zijde van maat 6 is de tegenoverliggende zijde en de zijde van maat 8 is de aangrenzende zijde. Soortgelijk:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Voorbeeld 2
Wetende dat \(zonde\ 35°≈0.573\) en mede\(35°≈0,819\), vind de geschatte waarde voor de raaklijn van 35°.
Oplossing:
Aangezien de tangens van een hoek de verhouding is tussen de sinus en de cosinus van die hoek, hebben we:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)
\(tg\ 35°≈0.700\)
tangens functie
De functie fx=tg x is gedefinieerd voor hoeken X uitgedrukt in radialen, zodat \(cos\ x≠0\). Dit betekent dat het domein van de raaklijnfunctie wordt uitgedrukt door:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Verder allemaal echte getallen zijn het beeld van de raaklijnfunctie.
→ Grafiek van de raaklijnfunctie
Merk op dat de grafiek van de tangensfunctie verticale asymptoten heeft voor de waarden waar \(x= \frac{π}2+kπ\), met k geheel, zoals \( x=-\frac{π}2\). Voor deze waarden van X, is de raaklijn niet gedefinieerd (dat wil zeggen, de raaklijn bestaat niet).
Zie ook: Wat is domein, bereik en afbeelding?
wet van raaklijnen
De wet van raaklijnen is a uitdrukking die associeert, in a driehoek alle, de raaklijnen van twee hoeken en de zijden tegenover die hoeken. Beschouw bijvoorbeeld de hoeken α en β van driehoek ABC hieronder. Merk op dat zijde CB = a tegenover hoek α ligt en zijde AC = b tegenover hoek β.
De wet van raaklijnen stelt dat:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )
trigonometrische verhoudingen
Naar de trigonometrische verhoudingen zijn de goniometrische functies die op de rechthoekige driehoek zijn bewerkt. We interpreteren deze verhoudingen als relaties tussen de zijden en hoeken van dit type driehoek.
Opgeloste oefeningen op raaklijn
vraag 1
Laat θ een hoek zijn van het tweede kwadrant zodat sin\(zonde\ θ≈0.978\), dus tgθ is ongeveer:
A) -4.688
B) 4.688
c) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Oplossing
Alternatief A
als \(zonde\ θ≈0.978\), vervolgens met behulp van de fundamentele identiteit van trigonometrie:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0.978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0.956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Omdat θ een hoek is van het tweede kwadrant, is cosθ negatief, dus:
\(cos\ θ≈- 0.2086\)
Spoedig:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)
vraag 2
Beschouw een rechthoekige driehoek ABC met benen AB = 3 cm en AC = 4 cm. De tangens van hoek B is:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
EN) \(\frac{5}3\)
Oplossing:
Alternatief C
Door de verklaring, het been tegenover de hoek \(\hoed{B}\) is de AC die 4 cm meet en het been grenst aan de hoek \(\hoed{B}\) is AB met een afmeting van 3 cm. Soortgelijk:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
Leer hoe u de trigonometrische cirkel kunt bouwen, naast het begrijpen hoe de reductie naar het eerste kwadrant werkt en hoe u trigonometrie hierdoor kunt bestuderen.
Ken de trigonometrische functies sinus, cosinus en tangens. Begrijp de grafiek van elk van de goniometrische functies. Bekijk de kenmerken van deze functies.
radiaal, hoek, graad, omtrek, boog, boog van omtrek, graad naar radiaaltransformatie, definitie radiaal, hoekmaat, boogmaat, omtreklengte in radiaal, lengte van omtrek.
Zie hoe u de waarde van sinus, cosinus en tangens van een hoek berekent en leer welke verhoudingen u moet gebruiken in een probleemsituatie.
Leer wat trigonometrie bestudeert. Weet wat de belangrijkste trigonometrische identiteiten en functies zijn en weet hoe trigonometrie moet worden toegepast.
Weet wat de bijzonderheden zijn van de rechthoekige driehoek en leer de oppervlakte en omtrek ervan te berekenen. Zie ook hoe trigonometrie erop kan worden toegepast.
Klik en leer wat opmerkelijke hoeken zijn voor trigonometrie en ontdek hoe u hun sinus-, cosinus- en tangenswaarden kunt vinden.
