Een geschatte vierkantswortel is een eindige representatie van a irrationeel nummer. In veel gevallen bij het werken met wortels, is een schatting met enkele decimalen voldoende voor onze berekeningen.
De rekenmachine is hierbij een belangrijk hulpmiddel. De weergave, die beperkte ruimte heeft, geeft een goede benadering aan voor niet-exacte vierkantswortels. Maar het is ook mogelijk om deze schattingen te vinden zonder de hulp van een rekenmachine, zoals we hieronder zullen zien.
Lees ook: Rooten - alles over de inverse potentiëring
Onderwerpen van dit artikel
- 1 - Samenvatting over geschatte vierkantswortel
- 2 - Videoles over geschatte vierkantswortel
- 3 - Hoe wordt de geschatte vierkantswortel berekend?
- 4 - Verschillen tussen geschatte vierkantswortel en exacte vierkantswortel
- 5 - Opgeloste oefeningen op geschatte vierkantswortel
Geschatte vierkantswortelsamenvatting
Een onnauwkeurige vierkantswortel is een irrationeel getal.
We kunnen geschatte waarden vinden voor niet-exacte vierkantswortels.
De nauwkeurigheid van de benadering hangt af van het aantal gebruikte decimalen.
De benadering kan op verschillende manieren worden gedaan, onder andere met behulp van de rekenmachine.
Het vinden van een y-benadering van de vierkantswortel van x betekent dat y² zeer dicht bij x ligt, maar y² is niet gelijk aan x.
Videoles over geschatte vierkantswortel
Hoe bereken je de geschatte vierkantswortel?
Er zijn verschillende manieren om de benadering van een vierkantswortel te berekenen. Een daarvan is de rekenmachine! Bijvoorbeeld als we schrijven \(\sqrt{2}\) op de rekenmachine en klik op =, het resulterende getal is een benadering. Hetzelfde geldt met \(\sqrt{3}\) Het is \(\sqrt{5}\), die ook niet-exacte vierkantswortels zijn, dat wil zeggen, het zijn irrationele getallen.
Een andere manier is om exacte wortels te gebruiken die dicht bij de bestudeerde niet-exacte wortel liggen. Hiermee kunt u de decimale weergaven vergelijken en een bereik vinden voor de niet-exacte wortel. We kunnen dus enkele waarden testen totdat we een goede benadering vinden.
Het klinkt moeilijk, maar maak je geen zorgen: het is een testproces. Laten we naar enkele voorbeelden kijken.
Voorbeelden
Vind een benadering tot op twee decimalen voor \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
realiseer dat \(\sqrt{4}\) Het is \(\sqrt{9}\) zijn de dichtstbijzijnde exacte wortels van \(\sqrt{5}\). Onthoud dat hoe groter de radicand, hoe groter de vierkantswortelwaarde. Dat kunnen we dus concluderen
\(\sqrt{4}
\(2
D.w.z, \(\sqrt5\) is een getal tussen 2 en 3.
Nu is het tijd om te testen: we kiezen enkele waarden tussen 2 en 3 en controleren of elk gekwadrateerd getal de 5 benadert. (Onthoud dat \(\sqrt5=a\) als \(a^2=5\)).
Laten we voor de eenvoud beginnen met getallen met één decimaal:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Merk op dat we niet eens verder hoeven te gaan met het ontleden van getallen tot op één decimaal: het getal dat we zoeken ligt tussen 2,2 en 2,3.
\(2,2
Nu we op zoek zijn naar een benadering met twee decimalen, gaan we verder met de tests:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Nogmaals, we kunnen de analyse stoppen. Het getal dat u zoekt ligt tussen 2,23 en 2,24.
\(2.23
Maar en nu? Welke van deze waarden met twee decimalen kiezen we als benadering van \(\sqrt5\)? Beide zijn goede opties, maar houd er rekening mee dat de beste degene is waarvan het vierkant het dichtst bij 5 ligt:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
D.w.z, \(2,24^2 \) is dichter bij 5 dan \(2,23^2\).
Dus de beste benadering tot op twee decimalen voor \(\sqrt5\) é 2,24. Wij schrijven dat \(\sqrt5≈2.24\).
Niet stoppen nu... Er is meer na de publiciteit ;)
Vind een benadering tot op twee decimalen voor \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
We zouden op dezelfde manier kunnen beginnen als in het vorige voorbeeld, dat wil zeggen, zoeken naar exacte wortels waarvan radicands zijn bijna 20, maar merk op dat het mogelijk is om de waarde van de radicand te verlagen en de rekeningen:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Merk op dat we de decompositie van de radicand 20 hebben uitgevoerd en een bewortelingseigenschap hebben gebruikt.
Nu hoe \(\sqrt20=2\sqrt5\), kunnen we de benadering met twee decimalen gebruiken om \(\sqrt5\) uit het vorige voorbeeld:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4.48\)
Observatie: Omdat we een geschat aantal gebruiken (\(\sqrt5≈2.24\)), is de waarde 4,48 misschien niet de beste benadering met twee decimalen voor \(\sqrt{20}\).
Lees ook: Hoe bereken je de derdemachtswortel van een getal?
Verschillen tussen geschatte vierkantswortel en exacte vierkantswortel
Een exacte vierkantswortel is a rationaal getal. realiseer dat \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) Het is \(\sqrt{121}\) zijn voorbeelden van exacte vierkantswortels, zoals \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) Het is \(\sqrt{121}=11\). Bovendien, wanneer we de inverse bewerking toepassen (dat wil zeggen, de potentiëring met exponent 2), krijgen we de radicand. In de voorgaande voorbeelden hebben we \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) Het is \(11^2=121\).
Een onnauwkeurige vierkantswortel is een irrationeel getal (dat wil zeggen, een getal met oneindige niet-herhalende decimalen). We gebruiken dus benaderingen in de decimale weergave. realiseer dat \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) Het is \(\sqrt6\) zijn voorbeelden van niet-exacte wortels, omdat \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) Het is \(\sqrt6≈2.44949\). Bovendien, wanneer we de inverse bewerking toepassen (dat wil zeggen potentiëring met exponent 2), verkrijgen we een waarde die dicht bij de radicand ligt, maar niet gelijk is. In de voorgaande voorbeelden hebben we \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) Het is \(2,44949^2=6,00000126\).
Opgelost oefeningen op geschatte vierkantswortel
vraag 1
Zet de volgende getallen in oplopende volgorde: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Oplossing
realiseer dat \(\sqrt{150}\) is een niet-exacte vierkantswortel en \(\sqrt{144}\) is exact (\(\sqrt{144}=12\)). We hoeven dus alleen de positie van te identificeren \(\sqrt{150}\).
Let daar op \(13=\sqrt{169}\). Aangezien hoe groter de radicand, hoe groter de waarde van de vierkantswortel, hebben we dat
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Daarom hebben we de nummers in oplopende volgorde gerangschikt
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
vraag 2
Onder de volgende alternatieven, wat de beste benadering is met één decimaal voor het getal \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
e) 8.1
Oplossing
Alternatief C
Let daar op \(\sqrt{49}\) Het is \(\sqrt{64}\) zijn de dichtstbijzijnde exacte vierkantswortels van \(\sqrt{54}\). Als \(\sqrt{49}=7\) Het is \(\sqrt{64}=8\), We moeten
\(7
Laten we eens kijken naar enkele mogelijkheden van benadering met één decimaal voor \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Merk op dat het niet nodig is om door te gaan met de tests. Van de alternatieven is 7,3 ook de beste benadering tot op één cijfer achter de komma \(\sqrt{54}\).
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
Klik om te zien hoe de berekening van niet-exacte wortels kan worden gedaan door de radicand te ontbinden in priemfactoren!
Herken irrationele getallen, begrijp het verschil tussen een irrationeel getal en een rationaal getal, voer basisbewerkingen uit tussen irrationele getallen.
Begrijp hier hoe u een n-de wortel berekent, bekijk ook al zijn eigenschappen, met voorbeelden!
Vierkantswortel is een wiskundige bewerking die op alle schoolniveaus wordt gebruikt. Leer de nomenclaturen en definities, evenals hun geometrische interpretatie.
