bissectrice en de loodlijn naar een lijnstuk dat het midden ervan snijdt. We kunnen de middelloodlijn van een segment construeren met behulp van liniaal en passer. Op een driehoek, de bissectrices zijn lijnen loodrecht op de zijden die hun middelpunten bevatten. Een driehoek heeft dus drie middelloodlijnen. Het punt waar deze bissectrices samenkomen, wordt het circumcenter genoemd en vormt het middelpunt van de cirkel die om de driehoek is beschreven.
Lees ook: Afstand tussen twee punten — het kortste pad tussen twee punten in het cartesiaanse vlak
Samenvatting over de middelloodlijn
Bissectrice is de direct loodrecht op een lijnstuk dat door het middelpunt gaat.
De punten van een middelloodlijn liggen op gelijke afstand van de eindpunten van het lijnstuk.
De middelloodlijn kan worden geconstrueerd met liniaal en passer.
De vergelijking van een middelloodlijn kan worden bepaald op basis van de coördinaten van de eindpunten van het lijnstuk.
Een driehoek heeft drie middelloodlijnen, één ten opzichte van elke zijde.
Het snijpunt van de deellijnen van een driehoek wordt het circumcenter genoemd. Dit punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek.
De bissectrice van een driehoek verschilt van de mediaan, de bissectrice en de hoogte van een driehoek.
Wat is bemiddelaar?
Gegeven een segment, is de middelloodlijn de lijn loodrecht op de segment dat onderschept je middelpunt.
Een belangrijk gevolg van deze definitie is dat alle punten op een middelloodlijn liggen op dezelfde afstand van de eindpunten van het lijnstuk. Als AB in de wiskundige symboliek een lijnstuk is en het punt P behoort tot de bissectrice, dan is PA = PB.
Hoe de bissectrice te bouwen?
Om de middelloodlijn van een segment te construeren, we hebben alleen liniaal en kompas nodig. De stappen voor de bouw zijn als volgt:
Stap 1: Gegeven een segment AB, open het kompas met een lengte groter dan de helft van het segment. Hint: een mogelijkheid is om de lengte van het segment zelf te gebruiken.
Stap 2: teken er een omtrek met het middelpunt aan het ene uiteinde van het segment en de straal met de in stap 1 gekozen maat.
Stap 3: Herhaal stap 2 voor het andere uiteinde van het segment.
Stap 4: Verbind de snijpunten van de cirkels met de liniaal.
Hoe de bissectricevergelijking te vinden?
Aangezien de middelloodlijn een rechte lijn is, kunnen we a bepalen vergelijking dat beschrijft uw punten, zijnde R de lijn die een segment bevat AB weg gegeven, S de bissectrice van dit segment en P (x, y) elk punt op de middelloodlijn.
Ervan uitgaande dat de coördinaten van de punten A Het is B bekend zijn, kunnen we de hoekcoëfficiënt verkrijgen N van het rechte stuk R. Als R Het is S staan loodrecht, de helling M van het rechte stuk S (de middelloodlijn) kan ook worden gevonden, aangezien het het tegenovergestelde is van de multiplicatieve inverse van N. Gebruik de uitdrukking voor de fundamentele vergelijking van de lijn, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), op wat \(M(x\_0,y\_0)\) is het middelpunt van AB, hebben we de bissectricevergelijking voltooid.
Voorbeeld:
Bepaal de bissectricevergelijking van het lijnstuk bepaald door de punten A(1,2) en B(3,6).
Oplossing:
Laten we eerst de helling nemen N van het rechte stuk R dat het segment bevat AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Nu zoeken we het middelpunt M van het lijnstuk AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Onthoud dat de middelloodlijn S gezocht staat loodrecht op de lijn R (die het segment bevat AB). Vervolgens de hoekcoëfficiënt M van het rechte stuk S en de hoekcoëfficiënt N van het rechte stuk R zijn als volgt gerelateerd:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Daarom, \( m_s=\frac{-1}2\).
Ten slotte gebruiken we de fundamentele vergelijking van de lijn om de deellijn s te bepalen, een lijn met een helling gelijk aan \(-\frac{1}2\) en gaat door het punt (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
bissectrice van een driehoek
De drie zijden van een driehoek zijn lijnstukken. De term "bissectrice van een driehoek" verwijst dus naar de bissectrice van een van de zijden van deze geometrische figuur. Daarom, de driehoekheeft drie deellijnen. Zie hieronder:
Het punt waar de bissectrices van een driehoek elkaar ontmoeten, wordt het circumcenter genoemd., aangezien het het middelpunt is van de cirkel die is omgeschreven naar de driehoek (dat wil zeggen, de cirkel die door de drie hoekpunten van de driehoek gaat).
Belangrijk:Omdat het circumcenter een gemeenschappelijk punt is voor de drie middelloodlijnen, is de afstand tot elk van de hoekpunten hetzelfde. In wiskundige symboliek, als D is de circumcenter van de driehoek abc, Dan \(AD=BD=CD\).
Verschillen tussen bissectrice, mediaan, bissectrice en hoogte van een driehoek
Bissectrice, mediaan, bissectrice en hoogte van een driehoek zijn verschillende concepten. Laten we ze allemaal afzonderlijk en dan samen bekijken.
Bissectrice van een driehoek: is de lijn loodrecht op een van de zijden die het middelpunt snijdt.
Mediaan van een driehoek: is het segment met eindpunten op een hoekpunt van de driehoek en op het middelpunt van de zijde tegenover de hoekpunt.
Bissectrice van een driehoek: is het segment dat zich in de helft deelt hoeken zijden van de driehoek, met eindpunten op een van de hoekpunten en aan de tegenoverliggende zijde.
Hoogte van een driehoek: is het segment loodrecht op een van de zijden met het uiteinde in de hoek tegenover de zijde.
In de volgende afbeelding markeren we, in relatie tot het segment BC van de driehoek, de hoogte (stippellijn streepje in oranje), de bissectrice (stippellijn in paars), de mediaan (stippellijn in groen) en de middelloodlijn (volle lijn in rood).
Belangrijk: Op een gelijkzijdige driehoek, dat wil zeggen, waarvan de drie zijden en drie hoeken gelijk zijn, vallen de bissectrices, medianen, bissectrices en hoogten samen. Bijgevolg is de opvallende punten van een driehoek (circumcenter, barycenter, incenter en orthocenter) vallen ook samen. In de onderstaande afbeelding markeren we, in relatie tot segment BC, de bissectrice, mediaan, bissectrice en hoogte in een doorlopende zwarte lijn. Het gemarkeerde punt E is daarom circumcenter, zwaartepunt, incenter en orthocenter van de driehoek ABC.
Zie ook: Metrische relaties in de ingeschreven gelijkzijdige driehoek - wat zijn dat?
Opgeloste oefeningen op bissectrice
vraag 1
Overweeg de onderstaande uitspraken.
i. De bissectrice van een driehoek is het segment dat begint bij een hoekpunt en het middelpunt van de tegenoverliggende zijde kruist.
II. Het punt waar de bissectrices van een driehoek elkaar ontmoeten, wordt het circumcenter genoemd. Dit punt is het middelpunt van de cirkel omgeschreven door de driehoek en op gelijke afstand van de hoekpunten.
III. De bissectrice van een lijnstuk is de loodrechte lijn die het lijnstuk in het middelpunt snijdt.
Welk alternatief bevat de juiste?
A) Ik, alleen.
B) II, alleen.
C) III, alleen.
D) I en II.
E) II en III.
Oplossing:
Alternatief E
Bewering I is de enige onjuiste, aangezien deze de mediaan van een driehoek beschrijft.
vraag 2
(Enem — aangepast) Televisie heeft de afgelopen jaren een ware revolutie doorgemaakt op het gebied van beeldkwaliteit, geluid en interactiviteit met de kijker. Deze transformatie is het gevolg van de conversie van het analoge signaal naar het digitale signaal. Veel steden beschikken echter nog steeds niet over deze nieuwe technologie. Om deze voordelen naar drie steden te brengen, is een televisiestation van plan een nieuwe zendmast te bouwen die een signaal zendt naar antennes A, B en C die al in deze steden aanwezig zijn. De antennelocaties worden weergegeven in het cartesiaanse vlak:
De toren moet op gelijke afstand van de drie antennes worden geplaatst. De geschikte plaats voor de constructie van deze toren komt overeen met het coördinatenpunt
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Oplossing:
Alternatief E
Merk op dat de locatie voor de toren het circumcenter moet zijn van de driehoek gevormd door de punten A, B en C, aangezien het de equidistante locatie is van de drie antennes.
De coördinaten voor de T-toren zijn\( (x_t, y_t )\). Aangezien T tot de bissectrice van AB behoort (gegeven door de lijn x = 50), moet de horizontale locatie van de toren zijn \(x_t=50\).
Om de horizontale coördinaat te bepalen \(y_t\) van de toren kunnen we de uitdrukking voor de afstand tussen twee punten tweemaal gebruiken. Omdat de toren bijvoorbeeld op gelijke afstand staat van hoekpunten A en C (AT = CT), hebben we:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Vereenvoudigd, krijgen we \(y_t=30\).
Door Maria Luiza Alves Rizzo
Wiskunde leraar
