Getransponeerde matrix: wat is het, eigenschappen, voorbeelden

protection click fraud

DE getransponeerde matrix van matrix M is matrix M^t. het gaat om de hoofdkwartier die we gaan krijgen wanneer we de matrix herschrijven M veranderen de positie van de rijen en kolommen, het transformeren van de eerste rij van M in de eerste kolom van M^t, de tweede rij van M in de tweede kolom van M^t, enzovoorts.

Als matrix M heeft m lijnen en Nee kolommen, de getransponeerde matrix, dwz M^t, zal hebben Nee lijnen en m kolommen. Er zijn specifieke eigenschappen voor de getransponeerde matrix.

Lees ook: Wat is een driehoeksmatrix?

Hoe wordt de getransponeerde matrix verkregen?

Gegeven een matrix A_mxn, we kennen als de matrix getransponeerd van A naar matrix A^t_{n x m}. Om de getransponeerde matrix te vinden, verandert u gewoon de positie van de rijen en kolommen van matrix A. Wat ook de eerste rij van matrix A is, zal de eerste kolom zijn van getransponeerde matrix A^t, de tweede rij van matrix A is de tweede kolom van matrix A^t, enzovoorts.

Laat algebraïsch M = (m_ij)_mxn, de getransponeerde matrix van M is M^t = (m_ji) _{n x m}.

instagram story viewer

Voorbeeld:

Zoek de matrix getransponeerd uit de matrix:

Matrix M is een 3x5 matrix, dus de transponering ervan zal 5x3 zijn. Om de getransponeerde matrix te vinden, maken we van de eerste rij van matrix M de eerste kolom van matrix M^t.

De tweede rij van matrix M is de tweede kolom van de getransponeerde matrix:

Ten slotte wordt de derde rij van matrix M de derde kolom van matrix M.^t:

symmetrische matrix

Op basis van het concept van getransponeerde matrix is het mogelijk om te definiëren wat een symmetrische matrix is. Een matrix staat bekend als een symmetrische wanneer het gelijk is aan je getransponeerde matrix, dat wil zeggen, gegeven de matrix M, M = M^t.

Om dat te laten gebeuren, de matrix moet vierkant zijn, wat betekent dat om de matrix symmetrisch te laten zijn, het aantal rijen gelijk moet zijn aan het aantal kolommen.

Voorbeeld:

Wanneer we analyseren de termen boven de hoofddiagonaal en de termen onder de hoofddiagonaal van de matrix S, is het mogelijk om te zien dat er termen zijn die ze zijn hetzelfde, waardoor het bekend staat als symmetrisch precies vanwege de symmetrie van de matrix ten opzichte van de hoofddiagonaal.

Als we de transponering van de matrix S vinden, is het mogelijk om te zien dat S^t is gelijk aan S

Als S = S^t, deze matrix is symmetrisch.

Zie ook: Hoe lineaire systemen op te lossen?

Getransponeerde matrixeigenschappen

1e eigendom: de transponering van een getransponeerde matrix is gelijk aan de matrix zelf:

(M^t)^t = M

2e eigendom: de transponering van de som tussen de matrices is gelijk aan de som van de transponering van elk van de matrices:

(M + N)^t = M^t+ Nee^t

3e eigendom: de omzetting van vermenigvuldiging tussen twee matrices is gelijk aan de vermenigvuldiging van de transponering van elk van de matrices:

(M · N)^t = M^t · Nee^t

4e woning: O bepalend van de matrix gelijk is aan de determinant van de getransponeerde matrix:

det (M) = det (M^t)

5e eigendom: de matrix transponeren maal de constante is gelijk aan de matrix transponeren maal de constante:

(kA)^t = kA^t

Inverse matrix

Het concept van de inverse matrix verschilt nogal van het concept van de getransponeerde matrix, en het is belangrijk om het verschil tussen beide te benadrukken. De inverse matrix van een matrix M is de matrix M^-1, waarbij het product tussen de M- en M-matrices^-1 gelijk is aan de identiteitsmatrix.

Voorbeeld:

Lees onze tekst voor meer informatie over dit type matrix: Inverse matrix.

tegenovergestelde matrix

Als een ander geval van een speciale matrix, de matrix tegenover matrix M is matrix -M. We kennen als de tegenovergestelde matrix van M = (m_ij) de matrix -M = (-m_ij). De tegenovergestelde matrix is samengesteld uit de tegenovergestelde termen van matrix M.