Zeshoek het is de veelhoek die 6 kanten heeft. Het is regelmatig wanneer alle zijden en binnenhoeken congruent zijn met elkaar. Het is onregelmatig wanneer het deze kenmerken niet heeft. Het eerste geval is het meest bestudeerd, omdat wanneer de zeshoek regelmatig is, deze specifieke eigenschappen en formules heeft waarmee we de oppervlakte, omtrek en apothema kunnen berekenen.
Lees ook: Wat is een loshoek?
Samenvatting over zeshoek
Zeshoek is een 6-zijdige veelhoek.
Het is regelmatig wanneer alle zijden congruent zijn.
Het is onregelmatig wanneer alle zijden niet congruent zijn.
In een regelmatige zeshoek meet elke binnenhoek 120°.
De som van hoeken buitenranden van een regelmatige zeshoek is altijd 360°.
Om de oppervlakte van een regelmatige zeshoek te berekenen, gebruiken we de formule:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O perimeter van een zeshoek is de som van zijn zijden. Als het regelmatig is, hebben we:
P = 6L
Het apothema van een regelmatige zeshoek wordt berekend met de formule:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Wat is zeshoek?
Hexagon is elke veelhoek die heeft 6 zijden, dus 6 hoekpunten en 6 hoeken. Omdat het een veelhoek is, is het een gesloten platte figuur met zijden die elkaar niet kruisen. De zeshoek is een terugkerende vorm in de natuur, zoals in honingraten, in structuren van de organische chemie, in de schelpen van bepaalde schildpadden en in sneeuwvlokken.
Videoles over polygonen
zeshoekige elementen
Een zeshoek bestaat uit 6 zijden, 6 hoekpunten en 6 binnenhoeken.
hoekpunten: punten A, B, C, D, E, F.
zijkanten: de segmenten \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Interne hoeken: hoeken a, b, c, d, f.
Classificatie van zeshoeken
Zeshoeken kunnen, net als andere veelhoeken, op twee manieren worden ingedeeld.
regelmatige zeshoek
De zeshoek is regelmatig als hij heeft al zijn congruente kanten — bijgevolg zullen hun hoeken ook congruent zijn. De regelmatige zeshoek is de belangrijkste van allemaal en wordt het meest bestudeerd. Het is mogelijk om verschillende aspecten, zoals de oppervlakte, te berekenen met specifieke formules.
observatie: De regelmatige zeshoek kan worden verdeeld in 6 gelijkzijdige driehoeken, dat wil zeggen driehoeken met alle zijden gelijk.
→ onregelmatige zeshoek
Onregelmatige zeshoek is er een die heeft kanten met verschillende maatregelen. Het kan convex of niet-convex zijn.
convexe onregelmatige zeshoek
de zeshoek is convex als je alle hebt binnenhoeken kleiner dan 180°.
→ Onregelmatige niet-convexe zeshoek
Een zeshoek is niet-convex als hij heeft binnenhoeken groter dan 180°.
zeshoekige eigenschappen
→ Aantal diagonalen in een zeshoek
De eerste belangrijke eigenschap is dat: in een convexe zeshoek zijn er altijd 9 diagonalen. We kunnen deze 9 diagonalen geometrisch vinden:
We kunnen de diagonalen ook algebraïsch vinden met behulp van de volgende formule:
\(d=\frac{n\links (n-3\right)}{2}\)
Als we 6 in de vergelijking invullen, hebben we:
\(d=\frac{6\cdot\left (6-3\right)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Een convexe zeshoek heeft dus altijd 9 diagonalen.
Meer weten: Rechthoekig blokdiagonaal — segment dat twee van zijn hoekpunten verbindt die niet op hetzelfde vlak liggen
→ Binnenhoeken van een zeshoek
In een zeshoek, de som van de binnenhoeken is 720°. Om deze som uit te voeren, vervangt u eenvoudig 6 in de formule:
\(S_i=180\links (n-2\rechts)\)
\(S_i=180\links (6-2\rechts)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
In een regelmatige zeshoek zullen de binnenhoeken altijd 120° elk meten, omdat
720°: 6 = 120°
→ Buitenhoeken van een regelmatige zeshoek
Wat de buitenhoeken betreft, weten we dat de Hun som is altijd gelijk aan 360°. Aangezien er 6 buitenhoeken zijn, zal elk van hen 60° meten, as
360°: 6 = 60°
→ Regelmatig zeshoek apothema
Een apothema van een regelmatige veelhoek wordt beschouwd als:lijnstuk verbindt het midden van de veelhoek met de middelpunt aan jouw kant. Zoals we weten, bestaat de regelmatige zeshoek uit 6 gelijkzijdige driehoeken, dus het apothema komt overeen met de hoogte van een van deze gelijkzijdige driehoeken. De waarde van dit segment kan worden berekend met de formule:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ omtrek van zeshoek
Om de omtrek van een zeshoek te berekenen, voert u eenvoudig de uit som van zijn 6 zijden. Als de zeshoek regelmatig is, zijn de zijden congruent, dus het is mogelijk om de omtrek van de zeshoek te berekenen met de formule:
P = 6L
→ regelmatig zeshoekig gebied
Aangezien we weten dat de regelmatige zeshoek is samengesteld uit 6 gelijkzijdige driehoeken met zijden van L, is het mogelijk om een formule af te leiden voor de berekening van de oppervlakte, met behulp van de berekening van de gebied van een driehoek gelijkzijdig vermenigvuldigd met 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Merk op dat het mogelijk is om vereenvoudiging delen door 2, en vervolgens de formule genereren voor het berekenen van de oppervlakte van de zeshoek:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Zeshoek ingeschreven in een cirkel
We zeggen dat een veelhoek is ingeschreven in a omtrek wanneer hij is binnen de cirkel, en zijn hoekpunten zijn punten hiervan. We kunnen de regelmatige zeshoek voorstellen die is ingeschreven in een cirkel. Wanneer we deze voorstelling maken, is het mogelijk om te verifiëren dat de lengte van de straal van de cirkel gelijk is aan de lengte van de zijde van de zeshoek.
Weet ook: Cirkel en omtrek — Wat is het verschil?
Zeshoek omschreven in een cirkel
We zeggen dat een veelhoek wordt beschreven door een cirkel als de omtrek is binnen deze polygoon. We kunnen de omgeschreven regelmatige zeshoek voorstellen. In dit geval raakt de cirkel het middelpunt van elke zijde van de zeshoek, waardoor de straal van de cirkel gelijk is aan het apothema van de zeshoek.
hexagonaal gebaseerd prisma
DE Vlakgeometrie is de basis voor studies van Ruimtelijke geometrie. O zeshoek kan aanwezig zijn aan de basis van geometrische vaste stoffen, zoals in prisma's.
Om het volume van a. te vinden prisma, berekenen we het product van het gebied van de basis en de hoogte. Omdat de basis een zeshoek is, is zijn volume kan worden berekend door:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Lees ook: Volume van geometrische vaste stoffen — hoe te berekenen?
Zeshoekige basispiramide
Naast het zeshoekige prisma, er zijn ook de piramides zeshoekige basis.
om de te ontdekken volume van een piramide van zeshoekige basis, we berekenen het product van het gebied van de basis, de hoogte en delen door 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Merk op dat we vermenigvuldigen en delen door drie, wat a. mogelijk maakt vereenvoudiging. Het volume van een zeshoekige piramide wordt dus berekend met de formule:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Opgeloste oefeningen op hexagon
vraag 1
Een land heeft de vorm van een regelmatige zeshoek. Je wilt dit gebied omringen met prikkeldraad, zodat het draad 3 keer rond het territorium gaat. Wetende dat er in totaal 810 meter draad werd uitgegeven om het hele land te omsluiten, meet het gebied van deze zeshoek ongeveer:
(Gebruiken \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Oplossing:
alternatief B
De omtrek van de regelmatige zeshoek is
\(P=6L\)
Aangezien er 3 ronden werden gemaakt, werd er in totaal 270 meter afgelegd om een enkele ronde te voltooien, zoals we weten dat:
810: 3 = 270
Dus we hebben:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ meter\)
Als we de lengte van de zijde kennen, zullen we het gebied berekenen:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Afronding krijgen we:
\(A\ca.5164m^2\)
vraag 2
(PUC - RS) Voor een mechanische versnelling wil je een onderdeel maken met een regelmatige zeshoekige vorm. De afstand tussen de evenwijdige zijden is 1 cm, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. De zijkant van deze zeshoek meet ______ cm.
DE) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Oplossing:
alternatief B
Met betrekking tot de regelmatige zeshoek weten we dat het apothema de maat is van het midden tot het middelpunt van een van de zijden. Het apothema is dus de helft van de afstand die in de afbeelding wordt aangegeven. We moeten dus:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Het apothema is dan gelijk aan \(\frac{1}{2}\). Er is een relatie tussen de zijden van de zeshoek en het apothema, want in een regelmatige zeshoek hebben we:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Omdat we de waarde van het apothema kennen, kunnen we \(a=\frac{1}{2}\) in de vergelijking:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
De breuk rationaliseren:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
