Het domein, bereik en bereik zijn numerieke sets die verband houden met wiskundige functies. Deze transformeren waarden via hun vormingswetten en transporteren ze van een uitvoerset, het domein, naar een aankomstset, het bereik.
Uit de domeinset komen de waarden die worden getransformeerd door de functieformule of formatiewet. Daarna komen deze waarden bij het codomain terecht.
De subset die wordt gevormd door de elementen die in het codomein aankomen, wordt de afbeeldingsset genoemd.
Op deze manier zijn domein, bereik en bereik niet-lege verzamelingen en kunnen ze eindig of oneindig zijn.
Bij de studie van functies is het noodzakelijk om te specificeren welke elementen of wat de reikwijdte van deze sets is. Bijvoorbeeld: set van natuurlijke getallen of set van reële getallen.
Gegeven een domein A waarin elk element x dat erbij hoort door de functie wordt getransformeerd in een element y dat hoort bij het bereik B, wordt elk element y een afbeelding van x genoemd.
Om het domein en het bereik van een functie aan te duiden, wordt de notatie gebruikt:
(we lezen f van A naar B)
Deze transformatiewetten zijn uitdrukkingen die bewerkingen en numerieke waarden omvatten.
Voorbeeld
A functie f: A→B gedefinieerd door de vormingswet f(x) = 2x, waarbij het domein de verzameling is A={1, 2, 3} en het bereik B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, kan worden weergegeven door de waarden in de tabel en de diagrammen:
|
Domein x |
f(x) = 2x |
Afbeelding en |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f (3) = 2. 3 | 6 |
Tabelresultaten in diagrammen ordenen:
Domein
Domein D van een functie f is de outputverzameling, samengesteld uit de elementen x toegepast op de functie.
Geometrisch vormen in een Cartesiaans vlak de domeinelementen de x-as van de abscis.
in de notatie het domein wordt weergegeven door de letter voor de pijl.
Elk element x in het domein heeft minstens één afbeelding y in het codomein.
codomain
CD-domein is de aankomstset. in de notatie wordt weergegeven aan de rechterkant van de pijl.
Afbeelding
Afbeelding Im is een subset van het bereik, gevormd door de elementen y die de functie verlaten en uitkomen op het bereik, dat hetzelfde aantal elementen kan hebben, of een kleiner aantal.
Op deze manier is de afbeeldingsset van een functie f opgenomen in het codomein.
Geometrisch vormen in een Cartesiaans vlak de elementen van de beeldset de y-as van de ordinaten.
Het is gebruikelijk om te zeggen dat y de waarde is die wordt aangenomen door de functie f(x) en op deze manier schrijven we:
Het is mogelijk dat hetzelfde element y een afbeelding is van meer dan één element x in het domein.
Voorbeeld
in functie gedefinieerd door de wet
, voor symmetrische x-waarden van het domein hebben we een enkele y-afbeelding.
leer meer over functies.
Domein-, co-domein- en afbeeldingsoefeningen
Oefening 1
Bepaal op basis van de verzamelingen A = {8, 12, 13, 20, 23} en B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}: domein, bereik en bereik van de functies.
a) f: A → B gedefinieerd door f (x) = 2x + 1
b) f: A → B gedefinieerd door f (x) = 3x - 14
a) f: A → B gedefinieerd door f (x) = 2x + 1
Domein A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domein B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Afbeelding Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(v) | f(x)=2x+1 | ik (v) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2.8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2.12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2.13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2.20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2.23+1 | 47 |
b) f: A → B gedefinieerd door f (x) = 3x - 14
Domein A = {8, 12, 13, 20, 23}
Domein B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Afbeelding ik (f) ={}
| D(v) | f(x) = 3x - 14 | ik (v) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3.12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3.13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3.20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3.23 - 14 | 55 |
Oefening 2
Bepaal het domein van functies gedefinieerd door:
Het domein is de verzameling mogelijke waarden die x kan aannemen.
a) We weten dat het niet mogelijk is om te delen door nul 0, dus de noemer moet anders zijn dan nul.
We lezen: x behoort tot de reële getallen zodat x verschilt van 2.
b) Er is geen vierkantswortel van een negatief getal. Daarom moet het wortelteken groter dan of gelijk aan nul zijn.
We lezen: x behoort tot de reële getallen zodat x groter dan of gelijk is aan 5.
Oefening 3
Gezien de functie met domein in de verzameling gehele getallen wat is de beeldreeks van f(x) ?
De verzameling Z van gehele getallen laat zowel negatieve als positieve getallen toe waarbij twee opeenvolgende getallen 1 eenheid uit elkaar liggen.
Op deze manier laat de functie positieve en negatieve waarden toe. Omdat x echter gekwadrateerd is, zal elke waarde, zelfs een negatieve, een positieve waarde retourneren.
Voorbeeld
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Op deze manier zijn er alleen natuurlijke getallen in de afbeelding.
Mogelijk bent u geïnteresseerd in:
- injectie functie:
- Surjectieve functie
- Bijectiefunctie:
- Omgekeerde functie
- Samengestelde functie
Toepassingen en curiosa
Functies hebben toepassing bij de studie van elk fenomeen waarbij de ene parameter afhankelijk is van de andere. Zoals bijvoorbeeld de snelheid van een meubel in de loop van de tijd, de effecten van een medicijn met de kenmerken van zuurgraad in de maag, de temperatuur van een boiler met de hoeveelheid brandstof.
De functies zijn aanwezig in echte fenomenen en hebben daarom toepassing in alle wetenschappelijke en technische studies.
De studie van functies is niet recent, sommige records in de oudheid in Babylonische tabellen laten zien dat ze al deel uitmaakten van de wiskunde. In de loop der jaren heeft de notatie, de manier waarop ze zijn geschreven, bijdragen ontvangen van verschillende wiskundigen en verbeterd, totdat we ze vandaag de dag gebruiken.
