Bestudeer stap voor stap rekenkundige en meetkundige progressie met opgeloste en becommentarieerde oefeningen.
Oefening 1
In een AP geldt a2 = 5 en a7 = 15. Zoek a4 en voeg de eerste vijf termen van deze AP toe.
Correct antwoord: a4 = 9 en S = 35.
Oplossing
1e stap: bepaal de reden en a4.
Om a2 te verlaten en bij a7 te komen, tellen we 5r op, omdat dit de "afstand" is tussen 7 en 2.
De term a4 is de term a2 plus 2r, want om van a2 naar a4 te komen, gaan we 2r vooruit. Spoedig,
Daarom is de vierde term van AP 9.
2e stap: bepaal de som van de eerste vijf termen van deze AP.
De som van de termen van een AP wordt gegeven door:
a1 = a2 - r (omdat we één positie teruggaan in PA, beginnend bij a2)
a1 = 5 - 2 = 3
a5 = a7 - 2r (omdat we twee posities teruggaan in PA, beginnend bij a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11
Oefening 2
(Aeronautics 2021) Een professor schreef een 8-term stijgende rekenkundige progressie beginnend met het getal 3 en bestaande uit alleen natuurlijke getallen. Hij merkte toen op dat de tweede, vierde en achtste term van deze rekenkundige reeks, in die volgorde, een meetkundige reeks vormden. De professor merkte ook op dat de som van de termen van deze meetkundige progressie gelijk was aan
a) 42
b) 36
c) 18
d) 9
Antwoord: a) 42
Door AP zijn de termen die een PG vormen a2, a4 en a8:
De som van de drie termen is:
Om r te bepalen, gebruiken we het geometrische gemiddelde:
Beide kanten vierkant maken
De eerste term kwadrateren en de tweede term verdelen:
Als we r in vergelijking I substitueren, hebben we:
Daarom is de som van de eerste drie termen gelijk aan 42.
Oefening 3
(PM-SP 2019) In 2015 is een grote oliemaatschappij begonnen met het hergebruik van het water dat wordt gebruikt om de onderdelen te koelen die: geproduceerd en een prognose gemaakt van een geleidelijke toename, in rekenkundige progressie, tot het jaar 2050, van het volume water dat zal worden hergebruikt, jaar na jaar jaar.
De tabel toont de hoeveelheden hergebruikt water in de eerste 3 jaar:
Laat An de algemene term zijn van de rekenkundige reeks die de hoeveelheid hergebruikt water aangeeft, in miljoenen m³, met n = 1, vertegenwoordigt de hoeveelheid hergebruikt water in het jaar 2016, n = 2, vertegenwoordigt de hoeveelheid hergebruikt water in het jaar 2017, enzovoort achtereenvolgens.
Onder deze omstandigheden moet men
a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.
Correct antwoord: c) An = 0,5n + 23.
objectief
Bepaal An als functie van n.
Oplossing
De verhouding van de rekenkundige progressie is 0,5, want 24 - 23,5 = 0,5.
a1 = 23.5
De algemene term van een AP wordt gegeven door:
Vervanging van de waarden:
Oefening 4
(CEDERJ 2021) De rij (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) is een rekenkundige reeks van verhouding 6. De vierde term van deze progressie is
a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.
Correct antwoord: a) 31
Oplossing
De vierde term is a3 + r, als volgt:
Vervanging van de gevonden waarden:
Oefening 5
(Enem 2021) In Brazilië is de tijd die een student nodig heeft om zijn opleiding af te ronden tot het afstuderen in een hogere opleiding, rekening houdend met 9 jaar basisschool, 3 jaar middelbare school en 4 jaar afstuderen (gemiddelde tijd), is het 16 jaar oud. De realiteit van Brazilianen laat echter zien dat de gemiddelde studietijd van mensen ouder dan 14 jaar nog steeds erg klein is, zoals blijkt uit de tabel.
Bedenk dat de toename van de studietijd, in elke periode, voor deze mensen constant blijft tot het jaar 2050, en dat het de bedoeling is om het niveau van 70% van de tijd die nodig is om de gegeven hogere cursus te behalen te halen eerder.
Het jaar waarin de gemiddelde studietijd van personen boven de 14 jaar het gewenste percentage bereikt wordt
een) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.
Juiste antwoord: d) 2035.
1e deel: bepaal 70% van 16.
2e deel: bepalen na hoeveel periodes 11,2 jaar studie wordt bereikt.
De studietijdvolgorde is een rekenkundige progressie (AP) met een verhouding van 0,6.
r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6
a1 = 5,2
Het bedrag van 11,2 jaar wordt bereikt in:
Het bedrag van 11,2 wordt bereikt in de 11e termijn van de PA.
3e deel: bepaal wat de 11e termijn van de PA van de jaren is.
De verhouding is a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 jaar
Gevolgtrekking
70% van de 16 jaar die nodig zijn om een bachelordiploma te behalen, zal in 2035 worden bereikt.
Oefening 6
(Brandweer 2021) Een vliegtuig en een brandweerwagen hebben waterreservoirs met een inhoud van respectievelijk 12.000 en 8.000 liter water. De vrachtwagen heeft een pomp van 2,5 GPM, wat betekent dat hij 2,5 gallon per minuut kan verpompen.
Beoordeel vanuit deze hypothetische situatie het volgende item, aangezien 1 gallon gelijk is aan 3,8 liter water.
Als een watertank een inhoud heeft van X duizend liter, zodat 8, X en 12 in die volgorde geometrische opeenvolging zijn, dan is de inhoud van die tank minder dan 10 duizend liter.
Rechts
Mis
Juiste antwoord: goed
objectief
Controleer of X < 10.
Oplossing
In een geometrische progressie, PG, is de middelste term het geometrische gemiddelde tussen de uitersten.
In feite is de geschatte vierkantswortel van 96 9,79. We concluderen dat de capaciteit X van de tank minder is dan 10 duizend liter.
Oefening 7
(Luchtvaart 2021) Wees de P.G. (24, 36, 54, ...). Door de 5e en 6e term van deze G.P. er is geweest
a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4
Correct antwoord: c) 1215/4
objectief
Voeg a5 + a6. toe
Oplossing
Stap 1: Bepaal de verhouding q.
De reden voor PG is:
Stap 2: Bepaal a5
a4 = a3. Q
a5 = a4. Q
Vervangen van a4 in a5:
Stap 3: Bepaal a6
a6 = a5. Q
Vervangen van a5 in a6:
Stap 4: Voeg a5 + a6 toe ter vervanging van de numerieke waarden.
54 als bewijs:
Oefening 8
(UERJ 2019) De driehoeken A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, hieronder afgebeeld, hebben respectievelijk de omtrek p1, p2, p3. De hoekpunten van deze driehoeken, beginnend bij de tweede, zijn de middelpunten van de zijden van de vorige driehoek.
geef dat toe .
Dus (p1, p2, p3) definieert de volgende progressie:
a) verhouding rekenkundig = – 8
b) verhouding rekenkunde = – 6
c) geometrische verhouding = 1/2
d) geometrische verhouding = 1/4
Correct antwoord: c) geometrische verhouding = 1/2
Oplossing
Stap 1: definieer de perimeters p1, p2 en p3.
Door parallellisme verifiëren we dat de zijden van de binnenste driehoek de helft zijn van de onmiddellijk buitenste driehoek.
Bijvoorbeeld, B2A2 = A1C2
Dus p2 is de helft van p1, net zoals p3 de helft van p2 is. We hebben:
Stap 2: Stel de progressie samen en classificeer deze.
Het blijkt dat om p2 te bepalen, 18 wordt vermenigvuldigd met 1/2.
Ook is 9 vermenigvuldigd met 1/2 4,5.
Gevolgtrekking
We verifiëren dat de progressie geometrisch is, met een verhouding van 1/2.
Oefening 9
(Enem 2021) De grafiek informeert de productie geregistreerd door een industrie in de maanden januari, maart en april.
Door logistieke problemen is het productieonderzoek voor de maand februari niet uitgevoerd. Informatie voor de andere drie maanden suggereert echter dat de productie in deze periode van vier maanden exponentieel groeide, zoals blijkt uit de trendcurve die in de grafiek wordt weergegeven.
Ervan uitgaande dat de groei in deze periode exponentieel was, kan worden afgeleid dat de productie van deze industrie in de maand februari, in duizenden eenheden,
a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.
Correct antwoord: c) 240.
Oplossing
De algemene term van een PG is een exponentiële a als functie van n, waarbij a1 en q constante getallen zijn.
a1 = 120
De verhouding q, kan worden bepaald door a4 / a3, als volgt:
De februari-hoeveelheid is a2, die wordt verkregen door a1 te vermenigvuldigen met q.
Daardoor was de productie in de maand februari 240.
Studeer meer met:
- Oefeningen voor geometrische progressie
- Oefeningen voor rekenkundige voortgang
Zie ook:
- PA en PG: samenvatting, formules en oefeningen
- Geometrische voortgang
- rekenkundige progressie
