DE omtrek is een platte geometrische figuur gevormd door vereniging van equidistante punten, dat wil zeggen, ze hebben dezelfde afstand tot een vast punt dat het middelpunt wordt genoemd. De studie van de omtrek is ook aanwezig in de analytische meetkunde, waarin het mogelijk is om een vergelijking af te leiden die het voorstelt.
Hoewel de cirkel en omtrek zijn platte geometrische figuren met enkele gemeenschappelijke elementen, wat meestal tot twijfel leidt, deze figuren vertonen belangrijke verschillen, vooral met betrekking tot dimensionaliteit.
Lees ook: Afstand tussen twee punten - een belangrijk concept van analytische meetkunde
elementen van de cirkel
Let op de omtrek:
Het punt Ç het heet middelpunt van de cirkel, en merk op dat de punten A en B erbij horen. Het segment dat de uiteinden van de cirkel verbindt die door het middelpunt gaan, wordt de genoemd diameter. Op de vorige omtrek, dan moeten we de diameter is het AB-segment.
Naar de verdeel de diameter in twee, laten we de straal van de omtrek nemen, dat wil zeggen, de
straal (r) van een cirkel het is het segment dat het midden en het einde verbindt. In dit geval is de straal het CB-segment. We kunnen een wiskundige relatie leggen tussen deze twee elementen, aangezien de diameter tweemaal de straal is.d = 2 · r
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
Voorbeeld
Bepaal de straal van een cirkel met een diameter van 40 cm.
We weten dat de diameter tweemaal de straal is, als volgt:
omtrek lengte
Beschouw een cirkel met een straal van r. O lengte of omtrek van de omtrek wordt gegeven door het product van de çconstante pi (π) met tweemaal de straal.
Wanneer we de lengte of omtrek van een cirkel berekenen, bepalen we de grootte van de lijn groen in de vorige tekening, en om dit te doen, vervangt u gewoon de straalwaarde in de formule die verder gaat naar figuur.
Voorbeeld
Bepaal de lengte van de omtrek van straal 5 cm.
De straal van de cirkel is gelijk aan 5 cm, dus om de lengte van de cirkel te bepalen, moeten we deze waarde in de formule vervangen.
C = 2πr
C = 2(3.14)(5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Zie ook: Constructie van ingeschreven polygonen
omtrekgebied
Beschouw een cirkel met straal r. Om uw oppervlakte te berekenen, moeten we: vermenigvuldig het kwadraat van de straalwaarde met π.
Wanneer we het gebied van de cirkel berekenen, bepalen we de oppervlaktemaat, dat wil zeggen het hele gebied binnen de cirkel.
- Voorbeeld
Bepaal de oppervlakte van een cirkel met een straal gelijk aan 4 cm.
We hebben dat de straal van de omtrek gelijk is aan 4 cm, dus we kunnen deze maat in de formule voor het gebied vervangen. Kijken:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
H = 50,24 cm2
Omtrek gereduceerde vergelijking
We weten dat een cirkel kan worden gebouwd door: verzameling punten die dezelfde afstand hebben vanaf een vast punt dat de oorsprong of het middelpunt wordt genoemd. Overweeg dus een vast punt in de cartesiaans vlak O(a, b). De verzameling punten — weergegeven door P(x, y) — die zich op dezelfde afstand r van dit vaste punt bevinden, vormt een cirkel met straal r.
Merk op dat de punten van de vorm P(x, y) allemaal op dezelfde afstand van punt O(a, b) liggen, dwz, de afstand tussen de punten O en P is gelijk aan de straal van de cirkel, dus:
Bij gereduceerde vergelijking, merk op dat de cijfers De en B zijn de coördinaten van het middelpunt van de cirkel en dat r is de maat van de straal.
- Voorbeeld
Bepaal de coördinaten van het middelpunt en de maat van de straal van de cirkel die een vergelijking heeft:
a) (x – 2)2 + (j – 6)2 = 36
Als we deze vergelijking met de gereduceerde vergelijking vergelijken, hebben we:
(x- De)2 + (j- B)2 = r2
(x- 2)2 + (j-6)2 = 36
Zie dat a = 2, b = 6 en r2 = 36. De enige vergelijking om op te lossen is:
r2 = 36
r = 6
Daarom is de coördinaat van het middelpunt: O(2, 6) en de straallengte is 6.
b) (x – 5)2 + (j + 3)2 = 121
Evenzo hebben we:
(x- De)2 + (j- B)2 = r2
(x – 5)2 + (j + 3)2 = 121
een = 5
– b = 3
b = –3
Terwijl de straalwaarde wordt gegeven door:
r2 = 121
r = 11
c) x2 + ja2 = 1
(x- De)2 + (j- B)2 = r2
X2 + ja2 = 1
Merk op dat x2 = (x + 0)2 en jij2 = (y + 0)2 . Dus we moeten:
(x- De)2 + (j- B)2 = r2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
Daarom is de coördinaat van het middelpunt O(0, 0) en is de straal gelijk aan 1.
Ook toegang: Hoe het middelpunt van een cirkel te vinden?
algemene vergelijking van de cirkel
Om de algemene vergelijking van de cirkel te bepalen, moeten we: ontwikkel de gereduceerde vergelijking haar. Beschouw dus een cirkel met een middelpunt op de coördinaten O(a, b) en straal r.
In eerste instantie zullen we de termen in het kwadraat ontwikkelen met behulp van de opmerkelijke producten; dan geven we alle nummers door aan het eerste lid; en ten slotte zullen we de termen met dezelfde letterlijke coëfficiënt samenvoegen, dat wil zeggen, die met dezelfde letters. Kijken:
Voorbeeld
Bepaal de coördinaten van het middelpunt en de gemiddelde straal van de cirkel die een vergelijking heeft:
a) x2 + ja2 – 4x – 6j + 4 + 9 – 49 = 0
Om de straal en de coördinaten van de cirkel met deze vergelijking te bepalen, moeten we deze vergelijken met de algemene vergelijking. Kijken:
X2 + ja2 – 2ex- 2by + De2 + B2 –r2 = 0
X2 + ja2 – 4x- 6y + 4 + 9 – 49 = 0
Uit de vergelijkingen in het groen moeten we:
2e = 4
een = 2
of
De2 = 4
een = 2
Uit de vergelijkingen in het rood hebben we dat:
2b = 6
b = 3
of
B2 = 9
b =3
We kunnen dus zeggen dat het centrum coördinaat O (2, 3) heeft. Als we nu de waarde van r vergelijken, hebben we:
r2 = 49
r = 7
Daarom heeft de straal van de cirkel een lengte gelijk aan 7.
b) x2 + ja2 – 10x + 14y + 10 = 0
Laten we op een vergelijkbare manier de vergelijkingen vergelijken:
X2 + ja2 – 2ex- 2by + De2 + b2 – r2 = 0
X2 + ja2 –10X + 14y + 10 = 0
2e = 10
een = 5
Bepalen van de waarde van b:
–2b = 14
b = – 7
Merk nu op dat:
De2 + b2 – r2 = 10
Omdat we de waarden van a en b kennen, kunnen we ze in de formule vervangen. Kijken:
De2 + b2 – r2 = 10
52 + (–7)2 – r2 = 10
25 + 49 - r2 = 10
74 – r2 = 10
– r2 = 10 – 74
(–1) – r2 = –64 (–1)
r2 = 64
r = 8
Daarom zijn de coördinaten van het middelpunt O (5, –7) en heeft de straal een lengte gelijk aan 8.
Verschillen tussen omtrek en cirkel
Het verschil tussen een cirkel en een cirkel betreft de aantal afmetingen van elk element. Terwijl de cirkel één dimensie heeft, heeft de cirkel er twee.
Een cirkel is een gebied in het vlak dat wordt gevormd door punten die allemaal op gelijke afstand liggen van een vast punt dat de oorsprong wordt genoemd. De cirkel bestaat uit elk gebied binnen de cirkel. Zie het verschil in afbeeldingen:
Zie ook:omtreklengte en cirkelgebied
opgeloste oefeningen
vraag 1 – Een omtrek heeft een omtrek gelijk aan 628 cm. Bepaal de diameter van deze cirkel (neem π = 3,14 aan).
Resolutie
Aangezien de omtrek gelijk is aan 628 cm, kunnen we deze waarde vervangen in de uitdrukking voor de lengte van de omtrek.
vraag 2 – Twee cirkels zijn concentrisch als ze hetzelfde middelpunt hebben. Als u dit weet, bepaalt u het gebied van de lege figuur.
Resolutie
Merk op dat om het gebied van het gebied in wit te bepalen, we het gebied van de grotere cirkel moeten bepalen en vervolgens dat van de kleinere cirkel in blauw. Merk ook op dat als we de blauwe cirkel verwijderen, alleen de gewenste regio overblijft, dus we moeten die gebieden aftrekken. Kijken:
DEGROTER = r2
DEGROTER = (3,14) · (9)2
DEGROTER = (3,14) · 81
DEGROTER = 254.34 cm2
Laten we nu de oppervlakte van de blauwe cirkel berekenen:
DEKLEINER = r2
DEKLEINER = (3,14) · (5)2
DEKLEINER = (3,14) · 25
DEKLEINER = 78,5 cm2
Het lege gebied wordt dus gegeven door het verschil tussen het grotere gebied en het kleinere gebied.
DEWIT = 254,34 – 78,5
DEWIT = 175,84 cm2
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Vink het juiste alternatief aan met betrekking tot de basisdefinitie van cirkels en hun eigenschappen.
a) Een cirkel is een vlak gebied begrensd door een cirkel.
b) Een cirkel is een verzameling punten waarvan de afstand tot het middelpunt altijd kleiner is dan de constante r.
c) Een cirkel heeft slechts twee stralen en de som van deze twee elementen is gelijk aan de diameter.
d) Een cirkel met middelpunt O en straal r is een verzameling van alle punten waarvan de afstand tot O gelijk is aan r.
e) Cirkel is het gebied van het vlak dat wordt begrensd door een diameter.
a) Gegeven een punt A, buiten de omtrek, is het segment OA kleiner dan of gelijk aan r.
b) Wetende dat het segment OA een lengte heeft die korter is dan r, kan worden gezegd dat A behoort tot de cirkel die door deze omtrek wordt begrensd.
c) Wetende dat het segment OA een lengte heeft groter dan r, kan worden gesteld dat A tot de cirkel behoort.
d) De diameter van de cirkel begrensd door deze omtrek is gelijk aan 3r.
e) Om punt A tot de cirkel te laten behoren, is het voldoende dat de afstand van A tot O kleiner is dan r.
