Goniometrische verhoudingen: sinus, cosinus en tangens zijn relaties tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Met behulp van deze verhoudingen is het mogelijk om onbekende waarden van hoeken en zijmetingen te bepalen.
Oefen je kennis met de opgeloste problemen.
vragen over sinus
vraag 1
de hoek zijn gelijk aan 30° en de hypotenusa 47 m, bereken de hoogtemeting De van de driehoek.
De trigonometrische sinusverhouding is het quotiënt tussen de maten van de andere kant van de hoek en de hypotenusa.
Isoleren De aan de ene kant van gelijkheid hebben we:
Uit een goniometrische tabel hebben we dat sinus van 30° gelijk is aan , substituerend in de vergelijking:
Daarom is de hoogte van de driehoek 23,50 m.
vraag 2
Het bovenaanzicht van een park toont twee paden om vanaf punt A bij punt C te komen. Een van de opties is om naar B te gaan, waar drinkfonteinen en rustplaatsen zijn, en dan naar C. Als een bezoeker van het park rechtstreeks naar C wil, hoeveel meter heeft hij dan minder gelopen dan de eerste optie?
Overweeg benaderingen:
zonde 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
bruin 58° = 1.60
Antwoord: als je A verlaat en rechtdoor gaat naar C, is de wandeling 7,54 m korter.
Stap 1: bereken afstand.
Stap 2: bepaal de afstand.
Stap 3: bepaal de afstand .
Stap 4: Bepaal het verschil tussen de twee paden.
vraag 3
Er werd een kabelbaan geïnstalleerd die een basis met de top van een berg verbond. Voor de installatie zijn 1358 m kabels gebruikt, die onder een hoek van 30° ten opzichte van de grond zijn opgesteld. Hoe hoog is de berg?
Correct antwoord: de hoogte van de berg is 679 m.
We kunnen de sinus trigonometrische verhouding gebruiken om de hoogte van de berg te bepalen.
Van een goniometrische tabel hebben we sin 30° = 0,5. Omdat de sinus de verhouding is tussen de tegenoverliggende zijde en de hypotenusa, bepalen we de hoogte.
vraag 4
(CBM-SC, soldaat-2010) Om een persoon in een appartement te helpen tijdens een brand, brandweerlieden zal een ladder van 30 m gebruiken, die wordt geplaatst zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding en een hoek vormt met de grond van de 60e. Hoe ver is het appartement van de vloer? (Gebruik sen60º=0,87; cos60º=0,5 en tg60º= 1,73)
a) 15 meter.
b) 26,1 meter.
c) 34,48 meter.
d) 51,9 meter.
Correct antwoord: b) 26,1 m.
Om de hoogte te bepalen, gebruiken we de sinus van 60°. De hoogte h noemen en 60° sinus gebruiken gelijk aan 0,87.
Vragen over cosinus
vraag 5
Cosinus is de verhouding tussen de zijde die grenst aan een hoek en de meting van de hypotenusa. Wezen gelijk aan 45°, bereken de maat van het been dat grenst aan de hoek alfa, in de driehoek van de figuur.
overwegen
Benadering van de vierkantswortelwaarde van 2:
De maat van het aangrenzende been is ongeveer 19,74 m.
vraag 6
Tijdens een voetbalwedstrijd gooit speler 1 naar speler 2 in een hoek van 48°. Hoe ver moet de bal reizen om speler 2 te bereiken?
Overwegen:
zonde 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
bruin 48° = 1.11
Correct antwoord: De bal moet een afstand van 54,54 m afleggen.
De maat tussen speler 1 en speler 2 is de hypotenusa van de rechthoekige driehoek.
De cosinus van de hoek van 48° is de verhouding van de aangrenzende zijde tot de hypotenusa, waarbij de aangrenzende zijde de afstand is tussen het middenveld en het grote gebied.
52,5 - 16,5 = 36 m
De cosinus berekenen, waarbij h de hypotenusa is.
vraag 7
Een dak wordt als gevel beschouwd als er twee hellingen zijn. In één werk wordt een dak gebouwd waar de ontmoeting van de twee wateren precies in het midden van de plaat ligt. De hellingshoek van elk water ten opzichte van de plaat is 30°. De plaat is 24 meter lang. Om de tegels te bestellen nog voordat de structuur die het dak zal ondersteunen voltooid is, is het noodzakelijk om de lengte van elk water te kennen, dat zal zijn:
Aangezien de plaat 24 m lang is, zal elk water 12 m lang zijn.
Als we de lengte van elk dak water L noemen, hebben we:
De breuk rationaliseren om het irrationele getal te krijgen van de noemer.
Maken,
De lengte van elk dakwater zal dus ongeveer 13,6 m bedragen.
vraag 8
Raaklijn is de verhouding tussen de zijde tegenover een hoek en de aangrenzende zijde. de hoek zijn gelijk aan 60°, bereken de hoogte van de driehoek.
Tangent vragen
vraag 9
Een persoon wil de breedte van een rivier weten voordat hij deze oversteekt. Hiervoor stelt het een referentiepunt in op de andere rand, zoals een boom bijvoorbeeld (punt C). In de positie waarin je je bevindt (punt B), loop je 10 meter naar links, totdat er een hoek van 30° ontstaat tussen punt A en punt C. Bereken de breedte van de rivier.
overwegen .
Om de breedte te berekenen van de rivier die we L zullen noemen, gebruiken we de tangens van de hoek .
vraag 10
(Enem 2020) Pergolado is de naam die wordt gegeven aan een type dak ontworpen door architecten, meestal in vierkanten en
tuinen, om een omgeving te creëren voor mensen of planten, waarin de hoeveelheid licht afneemt,
afhankelijk van de stand van de zon. Het is gemaakt als een pallet van gelijke balken, parallel en perfect geplaatst
op een rij, zoals weergegeven in de afbeelding.
Een architect ontwerpt een pergola met een overspanning van 30 cm tussen de balken, zodat in de
zomerzonnewende, het traject van de zon gedurende de dag wordt uitgevoerd in een vlak loodrecht op de richting van
stralen, en dat de middagzon, wanneer haar stralen 30° maken met de pinpositie, de helft genereert
van het licht dat 's middags door de pergola valt.
Om te voldoen aan het door de architect opgestelde projectvoorstel, moeten de pergolabalken
zo geconstrueerd dat de hoogte, in centimeters, zo dicht mogelijk bij
a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.
Correct antwoord: c) 26.
Laten we een schets maken om de situatie te begrijpen.
De afbeelding links toont de zonlichtinval 's middags, met 100%. De afbeelding aan de linkerkant is wat ons interesseert. Het laat slechts 50% van de zonnestralen door de pergola op een helling van 30%.
We gebruiken de raaklijn trigonometrische verhouding. De tangens van een hoek is de verhouding van de overstaande zijde tot de aangrenzende zijde.
Als we de hoogte van het pergola-stuk h noemen, hebben we:
Een raaklijn maken van 30° =
Laten we de laatste breuk rationaliseren, zodat we de wortel van drie, een irrationeel getal, niet in de noemer laten staan.
Maken,
Van de beschikbare opties voor de vraag is de letter c het dichtst in de buurt, de hoogte van de balken moet ongeveer 26 cm zijn.
vraag 11
(Enem 2010) Een atmosferische ballon, gelanceerd in Bauru (343 kilometer ten noordwesten van São Paulo), 's nachts afgelopen zondag viel het deze maandag in Cuiabá Paulista, in de regio Presidente Prudente, bang maken
boeren in de regio. Het artefact maakt deel uit van het Hibiscus Project-programma, ontwikkeld door Brazilië, Frankrijk,
Argentinië, Engeland en Italië, om het gedrag van de ozonlaag te meten, en de afdaling ervan vond plaats
na naleving van de verwachte meettijd.
Op de datum van het evenement zagen twee mensen de ballon. Eén was 1,8 km verwijderd van de verticale positie van de ballon
en zag het onder een hoek van 60°; de andere bevond zich 5,5 km van de verticale positie van de ballon, uitgelijnd met de
eerst, en in dezelfde richting, zoals te zien in de figuur, en zag het onder een hoek van 30°.
Wat is de geschatte hoogte van de ballon?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
Juiste antwoord: c) 3,1 km
We gebruiken de 60° tangens die gelijk is . De tangens is de trigonometrische verhouding tussen de tegenoverliggende zijde van de hoek en de aangrenzende.
Daarom was de hoogte van de ballon ongeveer 3,1 km.
