De binomiaal van Newton is elke binomiaal verheven tot een getal Nee op wat Nee het is een natuurlijk getal. Dankzij de studies van de fysicus Isaac Newton over de krachten van binomialen, het was mogelijk controleer regelmatigheden die de representatie van de polynoom vergemakkelijken gegenereerd uit de kracht van een binomiaal.
Door deze regelmatigheden te observeren, werd het ook mogelijk vind slechts één van de voorwaarden van polynoom, zonder alles te hoeven berekenen, met behulp van de formule van de algemene term van een binomiaal. Bovendien merkte Newton een verband op tussen de combinatorische analysea en de binomialen van Newton, waardoor de De driehoek van Pascal een geweldig hulpmiddel voor de meer praktische ontwikkeling van een Newton-binomiaal.
Lees ook: Briot-Ruffini-apparaat - methode voor het delen van polynomen
Definitie van de binomiaal van Newton
We definiëren als binomiaal depolynoom die twee termen heeft. In sommige toepassingen in de wiskunde en natuurkunde is het nodig om de machten van een binomiaal te berekenen. Om het proces te vergemakkelijken,
Isaac Newton merkte belangrijke regelmatigheden op waarmee we de polynoom kunnen vinden die het resultaat is van de kracht van een binomiaal.
In sommige gevallen is de berekening vrij eenvoudig: voer gewoon de vermenigvuldiging van de binomiaal met zichzelf met behulp van de distributieve eigenschap. Tot een potentie van orde 3 ontwikkelen we ons zonder veel moeite, omdat ze de bekende zijn opmerkelijke producten, maar voor hogere machten, bereken uit de vermenigvuldiging van de term zelf Nee soms is het veel werk.
Voorbeelden
Onthoud dat elk getal dat tot nul wordt verhoogd gelijk is aan 1 en dat elk getal dat tot 1 wordt verhoogd zichzelf is, wat ook geldt voor de binomials.
Newton merkte een relatie tussen de coëfficiënten van elk van de termen en de combinatie, waarmee de berekening van een macht van een binomiaal directer uit de volgende formule mogelijk was:
De formule begrijpen:
Laten we eerst kijken naar het letterlijke deel van elke term, namelijk de letter met zijn exponent. Merk op dat voor elke term de exponent van “a” aan het afnemen was, beginnend bij n, dan gaand naar n – 1, enzovoort totdat het 1 was in de voorlaatste term en 0 in de laatste term (waardoor de letter “a” niet eens voorkomt in de laatste term).
identificeren De en zijn exponenten:
Laten we nu de exponenten van "b" analyseren, die altijd toenemen, beginnend met 0 in de eerste term (de waardoor de letter b niet voorkomt in de eerste term), 1 in de tweede term, enzovoort totdat deze gelijk is De Neein de laatste termijn.
identificeren B en zijn exponenten:
Laten we het letterlijke deel begrijpen, laten we analyseer de coëfficiënten, die allemaal combinaties zijn van Nee elementen genomen van 0 tot 0, 1 tot 1, 2 tot 2, enzovoort tot de laatste term, wat de combinatie is van Nee elementen ontleend aan Nee in Nee.
Het is opmerkelijk dat het belangrijk is om de berekening van combinaties om de coëfficiënten te kunnen vinden. Denk eraan, om combinaties te berekenen, moeten we:
De combinatiereactie is altijd a natuurlijk nummer.
Zie ook: Polynomiale deling: hoe los je het op?
Voorbeeld: Bereken de binomiaal van Newton (a+b) tot de vierde macht.
1e stap: schrijf de polynoom met behulp van de formule.
2e stap: bereken de combinaties.
Door de combinaties te vervangen, wordt de gevonden polynoom:
Je ziet dat het oplossen van dit soort gevallen nog steeds omslachtig is, afhankelijk van de exponent, maar toch sneller dan rekenen met de distributieve eigenschap. Een hulpmiddel dat kan helpen bij deze berekening is de driehoek van Pascal.
De driehoek van Pascal
De Pascal-driehoek is ontwikkeld door Blaise Pascal tijdens de studie van combinaties. Hij is een manier die het berekenen van combinaties eenvoudiger maakt. Het gebruik van de Pascal-driehoek maakt het sneller en gemakkelijker om de coëfficiënten van de letterlijke delen van een Newton-binomiaal te vinden zonder alle combinaties te hoeven berekenen.
Laten we, om de driehoek van Pascal direct te construeren, twee situaties onthouden waarin de combinatieberekening gelijk is aan 1.
Dus de eerste en laatste term van alle lijnen zijn altijd gelijk aan 1. De centrale termen zijn opgebouwd uit de som van de term erboven plus zijn buur uit de vorige kolom, zoals in de onderstaande weergave:
Om de volgende regels te bouwen, onthoud dat de eerste term 1 is en de laatste ook. Dan is het voldoende om de sommen te maken om de centrale termen te ontdekken.
Ook toegang: Stelling van polynomiale ontbinding
Voorbeeld: Bereken (a+b) tot de zesde macht.
1e stap: pas de formule van de binomiaal toe.
2e stap: bouw de driehoek van Pascal tot de 6e lijn.
3e stap: vervang de combinaties door de waarden in regel 6, die de coëfficiënten zijn van elk van de termen van de binomiaal.
Wat het aantal lijnen bepaalt dat we uit de binomiaal zullen bouwen, is de waarde van n. Het is belangrijk om te onthouden dat de eerste regel nul is.
De binominale algemene term van Newton
De algemene term binomiaal van Newton is een formule waarmee we een term van de binomiaal kunnen berekenen zonder de hele polynoom te hoeven ontwikkelen, dat wil zeggen dat we identificeer een van de termen van de eerste tot de laatste. Met de formule berekenen we direct de term die we zoeken.
De: eerste term
B: tweede semester
nt: exponent
p+1: zoekterm
Voorbeeld: Zoek de 11e term van de binomiaal (a + b)12.
Resolutie:
Zie ook: Demonstraties door van algebraïsche calculus
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - (Cesgranrio) De coëfficiënt van x4 in de veelterm P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Resolutie
We willen een specifieke term vinden bij het oplossen van de binomiaal; daarvoor moeten we de waarde van p vinden.
We weten dat de eerste term in dit geval gelijk is aan x, dus n – p = 4, als n = 6, hebben we:
De coëfficiënt is dus 60 (alternatief B).
Vraag 2 - (Unifor) Als de centrale term van de binominale ontwikkeling (4x + ky)10 voor 8064x5ja5, dan is het alternatief dat overeenkomt met de waarde van k:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e 4
Resolutie: We weten dat de centrale term gelijke coëfficiënten heeft (p= 5). Laten we de 6e term zoeken, aangezien p+1=6. Verder hebben we dat a = 4x; b = ky en n = 10, dus:
Alternatief D.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
