Aftrek van de derde wet van Kepler. De derde wet van Kepler.

We weten echter dat de banen van de planeten elliptisch zijn voor de aftrek van de derde wet van Kepler, laten we een cirkelvormige baan beschouwen. Hoewel de volgende demonstratie gebaseerd is op cirkelvormige banen, zijn de resultaten ook geldig voor elliptische banen.

In de figuur hebben we een planeet in een baan om de zon. De middelpuntzoekende kracht (Fc) is een aantrekkingskracht die wordt uitgeoefend door de zon. De aantrekkingskrachten tussen planeten en satellieten worden verwaarloosd, dit komt doordat hun massa veel kleiner is dan de massa van de zon.

Zoals de planeet van massa (m) draait om de zon, in een cirkelvormige beweging en met hoeksnelheid ( ), de resulterende kracht op de planeet, centripetale kracht (Fc) genoemd, wordt gegeven door:

F_C=mω² R

Op wat:

F_C:middelpuntzoekende kracht;
m: massa van de planeet;
ω: hoeksnelheid van de planeet;
r: straal van de baan van de planeet.

De hoeksnelheid wordt gegeven door:

Op wat:

T: periode van revolutie op de planeet.

Als we vergelijking 2 in vergelijking 1 substitueren, hebben we:

Merk op dat de middelpuntzoekende kracht de aantrekkingskracht tussen de zon en de planeet is. Dus, gezien de massa van de zon als (M) en de baanradius van de planeet als (r), wat de afstand is tussen de zon en de planeet, kan de wet van universele zwaartekracht als volgt worden geschreven:

Op wat:

Als we vergelijking 3 met 4 gelijkstellen, krijgen we:

Spoedig:

Kijk naar vergelijking 5 en merk op dat de term  constant is, aangezien de onbekenden verwijzen naar de universele constante en de massa van de zon, dus de vergelijking kan als volgt worden herschreven:

t²=kr³

Op wat:

k: evenredigheidsconstante.

Vergelijking 6 vertelt ons dat het kwadraat van de omwentelingsperiode van een planeet rond de zon recht evenredig is met de derde macht van de afstand ertussen.

Door de bovenstaande vergelijking kunnen we de conclusie trekken dat hoe verder de planeet van de zon is, hoe langer de omwentelingsperiode.

De derde wet van Kepler, die we zojuist hebben afgeleid, is ook geldig in relatie tot de aarde voor de beweging van de maan en kunstmatige satellieten.

Door Nathan Augusto
Afgestudeerd in natuurkunde

Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm