O De driehoek van Pascal het is een vrij oud rekenhulpmiddel. Door de geschiedenis heen heeft het verschillende namen gekregen, maar de meest aangenomen vandaag zijn: rekenkundige driehoek en de driehoek van Pascal. De tweede naam is een eerbetoon aan de wiskundige die verschillende bijdragen heeft geleverd aan de studie van deze driehoek. betekent dat de driehoek door hem is uitgevonden, maar hij was degene die hier een diepere studie van heeft gemaakt hulpmiddel.
Uit de eigenschappen van de Pascal-driehoek is het mogelijk om deze logisch te construeren. Valt ook op je relatie met combinaties bestudeerd in combinatorische analyse. De termen van de Pascal-driehoek komen ook overeen met binomiale coëfficiënten en daarom is het erg handig voor het berekenen van elke Newton-binomiaal.
Lees ook: Briot-Ruffini-apparaat - methode voor het delen van polynomen
Constructie van de driehoek van Pascal
De driehoek van Pascal wordt geproduceerd uit het resultaat van de combinaties, maar er is een praktische methode die de manier om het te bouwen vergemakkelijkt. De eerste rij en de eerste kolom worden geteld als rij nul en kolom nul.
We kunnen zoveel regels gebruiken als nodig is in deze constructie kan de driehoek daarom oneindig veel lijnen hebben. De redenering voor de uitwerking van de lijnen is altijd dezelfde. Kijk:
We weten dat driehoek termen zijn combinaties, studeerde in combinatorische analyse. Om de driehoek van Pascal te vervangen door numerieke waarden, weten we dat de combinaties van een getal met nul en een getal met zichzelf altijd gelijk zijn aan 1. Daarom zijn de eerste en laatste waarden altijd 1.
Om de anderen te vinden, beginnen we met regel 2, aangezien regel 0 en regel 1 al voltooid zijn. In regel 2, om de combinatie van 2 tot 1 te vinden, in de regel hierboven, dat wil zeggen in regel 1, laten we de term erboven in dezelfde kolom toevoegen en de term erboven in de vorige kolom, zoals weergegeven in de afbeelding :
Na het bouwen van lijn 2 is het mogelijk om lijn 3 te bouwen met dezelfde procedure.
Als we deze procedure voortzetten, zullen we alle termen vinden - in dit geval tot regel 5 - maar het is mogelijk om zoveel regels te bouwen als nodig is.
Eigenschappen van de driehoek van Pascal
Er zijn een paar eigenschappen van de driehoek van Pascal, vanwege de regelmaat in de constructie. Deze eigenschappen zijn handig voor het werken met combinaties, de constructie van driehoekslijnen zelf en de som van lijnen, kolommen en diagonalen.
1e eigendom
De eerste eigenschap was degene die we gebruikten om de driehoek te bouwen. dus om zoek een term in de driehoek van Pascal, voeg gewoon de term toe die in de rij erboven staat en dezelfde kolom met de term die in de kolom en rij ervoor staat. Deze eigenschap kan als volgt worden weergegeven:
Deze eigenschap staat bekend als Stifels relatie en het is belangrijk om de constructie van de driehoek te vergemakkelijken en de waarden van elk van de lijnen te vinden.
2e eigendom
De som van alle termen op een rij wordt berekend door:
sNee=2Nee, op wat Nee is het regelnummer.
Voorbeelden:
Met deze eigenschap is het mogelijk om te weten de som van alle termen op een regel zonder noodzakelijkerwijs de driehoek van Pascal te hoeven construeren. De som van regel 10 kan bijvoorbeeld worden berekend met 210 = 1024. Hoewel niet alle termen bekend zijn, is het al mogelijk om de somwaarde van de hele regel te kennen.
3e eigendom
De som van termen die opeenvolgen vanaf het begin van een bepaalde kolom voor tot een bepaalde lijn Nee is hetzelfde als de term op de regel n+1 rug en kolom p+1 later, zoals hieronder weergegeven:
4e eigendom
De som van een diagonaal die begint in kolom 0 en naar de term in kolom p en rij n gaat, is gelijk aan de term in dezelfde kolom (p), maar in de rij eronder (n+1), zoals weergegeven in de afbeelding :
5e eigendom
Er is symmetrie in de lijnen van de driehoek van Pascal. De eerste en tweede term zijn gelijk, de tweede en voorlaatste term zijn gelijk, enzovoort.
Voorbeeld:
Lijn 6: 1615 20 156 1.
Merk op dat de termen gelijk zijn aan twee tot twee, behalve de centrale term.
Zie ook: Polynomiale deling: hoe los je het op?
De binomiaal van Newton
We definiëren de binomiaal a. van Newton kracht van één polynoom die twee termen heeft. De berekening van een binomiaal is gerelateerd aan de Pascal-driehoek, die een mechanisme wordt voor het berekenen van wat we binomiale coëfficiënten noemen. Om een binomiaal te berekenen, gebruiken we de volgende formule:
Merk op dat de exponentwaarde van De het neemt af totdat het in de laatste term gelijk is aan De0. We weten dat elk getal dat wordt verhoogd tot 0 gelijk is aan 1, vandaar de term De komt niet voor in de laatste termijn. Merk ook op dat de exponent van B begint met B0, spoedig B verschijnt niet in de eerste termijn en neemt toe tot het bereiken van BNee, in de laatste termijn.
Bovendien is het getal dat bij elk van de termen hoort wat we een coëfficiënt noemen - in dit geval een binominale coëfficiënt. Om beter te begrijpen hoe u dit type binomiaal oplost, raadpleegt u onze tekst: De binomiaal van Newton.
binomiale coëfficiënt
De binominale coëfficiënt is niets meer dan de combinatie, die kan worden berekend met behulp van de formule:
Om de berekening van de binomiaal van Newton te vergemakkelijken, is het echter essentieel om de Pascal-driehoek te gebruiken, omdat deze ons het resultaat van de combinatie sneller geeft.
Voorbeeld:
Om het resultaat van de binominale coëfficiënt te vinden, zoeken we de waarden van rij 5 van de driehoek van Pascal, die {1,5,10,10,5,1} zijn.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3ja2+ 10x2ja3 + 5xy4+1 jaar5
Simpel gezegd:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3ja2+ 10x2ja3 + 5xy4+y5
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - De waarde van de onderstaande uitdrukking is?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Oplossing
Alternatief A.
Als we de positieve en negatieve waarden hergroeperen, moeten we:
Merk op dat we eigenlijk de aftrekking berekenen tussen lijn 4 en lijn 3 van de driehoek van Pascal. Per eigenschap weten we dat:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Vraag 2 - Wat is de waarde van onderstaande uitdrukking?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Oplossing
alternatief B.
Merk op dat we de termen uit kolom 1 van Pascal's driehoek toevoegen aan rij 7 en vervolgens aan de 3e eigenschap, is de waarde van deze som gelijk aan de term die rij 7+1 en kolom 1+1 beslaat, dat wil zeggen rij 8, kolom 2. Omdat we maar één waarde willen, is het niet handig om de hele Pascal-driehoek te construeren.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm
