Trigonometrie is een belangrijk thema in de wiskunde dat het mogelijk maakt om naast andere trigonometrische functies ook zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek te kennen, door de sinus, cosinus en tangens.
Om je studie te verbeteren en je kennis uit te breiden, volg je de lijst met 8 oefeningen, plus 4 toelatingsexamenvragen, allemaal stap voor stap opgelost.
Oefening 1
Toen hij 's ochtends de schaduw van een gebouw op de grond observeerde, ontdekte een persoon dat het 63 meter lang was toen de zonnestralen een hoek van 30° met het oppervlak maakten. Bereken op basis van deze informatie de hoogte van het gebouw.
Juiste antwoord: Ongeveer 36,37 m.
Het gebouw, de schaduw en de zonnestraal bepalen een rechthoekige driehoek. Met behulp van de hoek van 30° en de tangens kunnen we de hoogte van het gebouw bepalen.
Aangezien de hoogte van het gebouw h is, hebben we:
Oefening 2
Op een omtrek met een diameter van 3 vormt een segment AC, een akkoord genaamd, een hoek van 90° met een ander akkoord CB van dezelfde lengte. Wat is de maat van de snaren?
Correct antwoord: De lengte van het touw is 2,12 cm.
Omdat de segmenten AC en CB een hoek van 90° vormen en dezelfde lengte hebben, is de gevormde driehoek gelijkbenig en zijn de basishoeken gelijk.
Aangezien de som van de interne hoeken van een driehoek gelijk is aan 180° en we al een hoek van 90° hebben, blijft er nog een 90° over die gelijkelijk over de twee basishoeken moet worden verdeeld. De waarde hiervan is dus elk gelijk aan 45º.
Aangezien de diameter gelijk is aan 3 cm, is de straal 1,5 cm en kunnen we de cosinus van 45° gebruiken om de lengte van de snaar te bepalen.
Oefening 3
Een wielrenner die deelneemt aan een kampioenschap nadert de finish op de top van een helling. De totale lengte van dit laatste deel van de test is 60 m en de hoek gevormd tussen de helling en de horizontaal is 30°. Als u dit weet, berekent u de verticale hoogte die de fietser moet beklimmen.
Correct antwoord: De hoogte wordt 30 m.
Als we de hoogte h noemen, hebben we:
Oefening 4
De volgende figuur wordt gevormd door drie driehoeken waarbij de hoogte h twee rechte hoeken bepaalt. De elementwaarden zijn:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Zoek de waarde van a+b.
Correct antwoord:
We kunnen de afmetingen van de segmenten a en b bepalen met behulp van de raaklijnen van de gegeven hoeken.
Berekening van een:
Berekening van b:
Dus,
Oefening 5
Een vliegtuig vertrok vanuit stad A en vloog 50 km in een rechte lijn tot het landde in stad B. Daarna vloog het nog 40 km, dit keer richting stad D. Deze twee routes staan onder een hoek van 90° ten opzichte van elkaar. Vanwege ongunstige weersomstandigheden ontving de piloot echter een bericht van de verkeerstoren waarin hem werd meegedeeld dat hij niet kon landen in stad D en dat hij terug moest keren naar stad A.
Om de U-bocht vanaf punt C te maken, zou de piloot een bocht moeten maken van hoeveel graden naar rechts?
Overwegen:
sin 51° = 0,77
cos 51° = 0,63
bruin 51° = 1,25
Correct antwoord: De piloot moet een bocht van 129° naar rechts maken.
Als we de figuur analyseren, zien we dat het pad een rechthoekige driehoek vormt.
Laten we de hoek die we zoeken W noemen. Hoeken W en Z zijn aanvullend, dat wil zeggen dat ze een ondiepe hoek van 180° vormen.
Dus W + Z = 180°.
W = 180 - Z (vergelijking 1)
Onze taak is nu om de Z-hoek te bepalen en daarvoor gaan we zijn tangens gebruiken.
We moeten ons afvragen: Wat is de hoek waarvan de tangens 1,25 is?
Het probleem geeft ons deze gegevens, tan 51° = 1,25.
Deze waarde kan ook worden gevonden in een goniometrische tabel of met een wetenschappelijke rekenmachine, met behulp van de functie:
Als we de waarde van Z in vergelijking 1 substitueren, hebben we:
B = 180° - 51° = 129°
Oefening 6
Een straal monochromatisch licht die van het ene medium naar het andere gaat, ondergaat een afwijking in die richting. Deze verandering in de voortplanting is gerelateerd aan de brekingsindices van de media, zoals blijkt uit de volgende relatie:
De wet van Snellius - Descartes
Waar i en r de hoeken van inval en breking zijn en, n1 en n2, de brekingsindices van middelen 1 en 2.
Bij het raken van het scheidingsoppervlak tussen lucht en glas verandert een lichtstraal van richting, zoals weergegeven in de afbeelding. Wat is de brekingsindex van glas?
Gegevens: Luchtbrekingsindex gelijk aan 1.
Correct antwoord: De brekingsindex van het glas is gelijk aan .
Het vervangen van de waarden die we hebben:
Oefening 7
Om een houten blok zijn werkplaats in te slepen, bond een slotenmaker een touw aan het blok en trok het drie meter over een horizontaal oppervlak. Een kracht van 40 N door de snaar maakte een hoek van 45° met de rijrichting. Bereken de arbeid van de uitgeoefende kracht.
Correct antwoord: De verrichte arbeid is ongeveer 84,85 J.
Arbeid is een scalaire grootheid die wordt verkregen door het product van kracht en verplaatsing. Als de kracht niet dezelfde richting heeft als de verplaatsing, moeten we deze kracht ontleden en alleen de component in deze richting beschouwen.
In dit geval moeten we de grootte van de kracht vermenigvuldigen met de cosinus van de hoek.
Dus we hebben:
Oefening 8
Tussen twee bergen door moesten de bewoners van twee dorpen een zware weg op en neer reizen. Om de situatie op te lossen, werd besloten dat er een tuibrug zou worden gebouwd tussen de dorpen A en B.
Het zou nodig zijn om de afstand tussen de twee dorpen te berekenen aan de hand van de rechte lijn waarover de brug zou worden gespannen. Omdat bewoners de hoogte van de steden en de hellingshoeken al kenden, kon deze afstand worden berekend.
Bereken op basis van het onderstaande diagram en wetende dat de hoogte van de steden 100 m was, de lengte van de brug.
Correct antwoord: De brug moet een lengte hebben van ongeveer 157,73 m.
De bruglengte is de som van de zijden die grenzen aan de gegeven hoeken. Als we de hoogte h noemen, hebben we:
Berekening met de hoek van 45°
Berekening met een hoek van 60°
Om de bruglengte te bepalen, tellen we de verkregen waarden op.
vraag 1
Cefet - SP
In de driehoek ABC hieronder, CF = 20 cm en BC = 60 cm. Markeer respectievelijk de metingen van de segmenten AF en BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Antwoord: b) 10, 20
AF. bepalen
We merken op dat AC = AF + CF, dus we moeten:
AF = AC - CF (vergelijking 1)
CF wordt gegeven door het probleem, dat gelijk is aan 20 cm.
AC kan worden bepaald met behulp van 30° sinus.
BC wordt geleverd door het probleem, dat gelijk is aan 60 cm.
Substitueren in vergelijking 1 hebben we:
BE. bepalen
Eerste observatie:
We verifiëren dat de figuur binnen de driehoek een rechthoek is, vanwege de rechte hoeken die in de figuur zijn bepaald.
Daarom zijn hun zijden evenwijdig.
Tweede observatie:
Het BE-segment vormt een rechthoekige driehoek met een hoek van 30° waarbij: de hoogte gelijk is aan AF, die we zojuist hebben bepaald, en BE de hypotenusa is.
De berekening maken:
We gebruiken 30° sinus om BE. te bepalen
vraag 2
EPCAR-MG
Een vliegtuig stijgt op vanaf punt B onder een constante helling van 15° ten opzichte van de horizontaal. 2 km van B is de verticale projectie C van het hoogste punt D van een 600 m hoge bergketen, zoals weergegeven in de figuur.
Gegevens: cos 15° = 0,97; sin 15° = 0,26; tg 15° = 0.27
Het is juist om te zeggen dat:
a) Het vliegtuig zal niet in botsing komen met de zaag voordat het een hoogte van 540 m heeft bereikt.
b) Er zal een botsing plaatsvinden tussen het vliegtuig en de zaag op een hoogte van 540 m.
c) Het vliegtuig zal in botsing komen met de zaag in D.
d) Als het vliegtuig 220 m voor B opstijgt en dezelfde helling behoudt, zal er geen botsing zijn van het vliegtuig met de zaag.
Antwoord: b) Er zal een botsing plaatsvinden tussen het vliegtuig en de zaag op een hoogte van 540 m.
Ten eerste is het noodzakelijk om hetzelfde veelvoud van de lengtemaateenheid te gebruiken. Daarom gaan we van 2 km naar 2000 m.
Door dezelfde initiële vluchtomstandigheden te volgen, kunnen we de hoogte voorspellen waarop het vliegtuig zich in de verticale projectie van punt C zal bevinden.
Gebruikmakend van de 15° tangens en het definiëren van de hoogte als h, hebben we:
vraag 3
ENEM 2018
Voor het decoreren van een rechte cirkelcilinder wordt een rechthoekige strook transparant papier gebruikt, waarop vetgedrukt een diagonaal die 30° vormt met de onderrand is getekend. De straal van de basis van de cilinder meet 6/π cm, en bij het opwinden van de strook wordt een lijn in de vorm van een helix verkregen, zoals weergegeven in de afbeelding.
De waarde van de meting van de hoogte van de cilinder, in centimeters, is:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Antwoord: b) 24√3
Als we de figuur bekijken, zien we dat er 6 omwentelingen om de cilinder zijn gemaakt. Omdat het een rechte cilinder is, hebben we overal ter hoogte een cirkel als basis.
Om de maat van de basis van de driehoek te berekenen.
De lengte van een cirkel kan worden verkregen uit de formule:
Waarbij r de straal e is, gelijk aan ,we hebben:
Hoe zijn 6 ronden:
We kunnen de 30° tan gebruiken om de hoogte te berekenen.
vraag 4
ENEM 2017
Zonnestralen bereiken het oppervlak van een meer onder een X-hoek met het oppervlak, zoals weergegeven in de afbeelding.
Onder bepaalde omstandigheden kan worden aangenomen dat de lichtsterkte van deze stralen, op het meeroppervlak, ongeveer wordt gegeven door I(x) = k. sin (x), waarbij k een constante is, en aangenomen dat X tussen 0° en 90° ligt.
Wanneer x = 30º, wordt de lichtsterkte teruggebracht tot welk percentage van de maximale waarde?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Antwoord: B) 50%
Als we de sinuswaarde van 30 ° in de functie vervangen, krijgen we:
Nadat de waarde van k met de helft is verminderd, is de intensiteit 50%.
Oefen meer oefeningen in:
Trigonometrie-oefeningen
Breid je kennis uit met:
Trigonometrie in de rechthoekige driehoek
Metrische relaties in de rechthoekige driehoek
Trigonometrie
