Stelling van Pythagoras: Opgeloste en becommentarieerde oefeningen

De stelling van Pythagoras geeft aan dat in een rechthoekige driehoek de vierkante hypotenusa-maat gelijk is aan de som van de kwadraten van de beenmaten.

Profiteer van de opgeloste en becommentarieerde oefeningen om al uw twijfels over deze belangrijke inhoud te beantwoorden.

Voorgestelde oefeningen (met resolutie)

vraag 1

Carlos en Ana verlieten het huis om te werken vanaf hetzelfde punt, de garage van het gebouw waar ze wonen. Na 1 minuut, een loodrecht pad volgend, waren ze 13 m uit elkaar.

Als de auto van Carlos in die tijd 7 meter meer reed dan die van Ana, hoe ver waren ze dan van de garage?

a) Carlos was 10 m van de garage en Ana was 5 m.
b) Carlos was 14 m van de garage en Ana was 7 m.
c) Carlos was 12 m van de garage en Ana was 5 m.
d) Carlos was 13 m van de garage en Ana was 6 m.

Zie antwoord

Correct antwoord: c) Carlos was 12 m van de garage en Ana was 5 m.

De zijden van de rechthoekige driehoek gevormd in deze vraag zijn:

• hypotenusa: 13 m
• groter been: 7 + x
• kortere been: x

Als we de waarden in de stelling van Pythagoras toepassen, hebben we:

Nu passen we de formule van Bhaskara toe om de waarde van x te vinden.

Omdat het een lengtemaat is, moeten we de positieve waarde gebruiken. Daarom zijn de zijden van de rechthoekige driehoek gevormd in deze vraag:

• hypotenusa: 13 m
• grotere poot: 7 + 5 = 12 m
• kortere been: x = 5 m

Zo bevond Ana zich op 5 meter van de garage en Carlos op 12 meter.

vraag 2

Toen Carla haar kitten zocht, zag ze hem bovenop een boom. Ze vroeg haar moeder om hulp en ze plaatsten een ladder bij de boom om de kat naar beneden te helpen.

Wetende dat de kat 8 meter van de grond was en de voet van de ladder 6 meter van de boom verwijderd was, hoe lang werd de ladder dan gebruikt om het kitten te redden?

a) 8 meter.
b) 10 meter.
c) 12 meter.
d) 14 meter.

Zie antwoord

Correct antwoord: b) 10 meter.

Merk op dat de hoogte waarop de kat zich bevindt en de afstand waarop de voet van de ladder is geplaatst een rechte hoek vormen, dat wil zeggen een hoek van 90 graden. Omdat de ladder tegenover de rechte hoek staat, komt de lengte ervan overeen met de schuine zijde van de rechthoekige driehoek.

Door de waarden uit de stelling van Pythagoras toe te passen, ontdekken we de waarde van de hypotenusa.

Daarom is de ladder 10 meter lang.

vraag 3

Volgens de maatregelen die in de onderstaande alternatieven worden gepresenteerd, die de waarden van een rechthoekige driehoek weergeven?

a) 14 cm, 18 cm en 24 cm
b) 21 cm, 28 cm en 32 cm
c) 13 cm, 14 cm en 17 cm
d) 12 cm, 16 cm en 20 cm

Zie antwoord

Juiste antwoord: d) 12 cm, 16 cm en 20 cm.

Om erachter te komen of de gepresenteerde maten een rechthoekige driehoek vormen, moeten we de stelling van Pythagoras op elk alternatief toepassen.

a) 14 cm, 18 cm en 24 cm

b) 21 cm, 28 cm en 32 cm

c) 13 cm, 14 cm en 17 cm

d) 12 cm, 16 cm en 20 cm

Daarom komen de afmetingen 12 cm, 16 cm en 20 cm overeen met de zijden van een rechthoekige driehoek, aangezien het kwadraat van de hypotenusa, de langste zijde, gelijk is aan de som van het kwadraat van de benen.

vraag 4

Let op de volgende geometrische figuren, waarvan één zijde zich in de hypotenusa bevindt van een rechthoekige driehoek van 3 m, 4 m en 5 m.

Zoek de hoogte (h) van de gelijkzijdige driehoek BCD en de diagonale waarde (d) van het vierkant BCFG.

a) h = 4,33 m en d = 7,07 m
b) h = 4,72 m en d = 8,20 m
c) h = 4,45 m en d = 7,61 m
d) h = 4,99 m en d = 8,53 m

Zie antwoord

Correct antwoord: a) h = 4,33 m en d = 7,07 m.

Omdat de driehoek gelijkzijdig is, betekent dit dat de drie zijden dezelfde maat hebben. Door een lijn te tekenen die overeenkomt met de hoogte van de driehoek, splitsen we deze in twee rechthoekige driehoeken.

Hetzelfde geldt voor het plein. Wanneer we de diagonale lijn tekenen, kunnen we twee rechthoekige driehoeken zien.

Door de gegevens uit de stelling in de stelling van Pythagoras toe te passen, ontdekken we de waarden als volgt:

1. Berekening van de hoogte van de driehoek (rechthoekige poot):

We komen dan tot de formule voor het berekenen van de hoogte. Vervang nu gewoon de waarde van L en bereken deze.

2. Berekening van de diagonaal van het vierkant (hypotenusa van de rechthoekige driehoek):

Daarom is de hoogte van de gelijkzijdige driehoek BCD 4,33 en de diagonale waarde van het vierkant BCFG 7,07.

Zie ook: de stelling van Pythagoras

Problemen met toelatingsexamen opgelost

vraag 5

(Cefet/MG - 2016) Een vlieger, waarvan de afbeelding hieronder wordt weergegeven, werd gebouwd in het vierhoekige ABCD-formaat, dat en . de stok van de vlieger snijdt de staaf op het middelpunt E, een rechte hoek vormend. Bij de bouw van deze vlieger zijn de maatregelen van gebruikt zijn respectievelijk 25 cm en 20 cm, en de afmeting van gelijk aan van de maat van .

Onder deze omstandigheden is de maat van , in cm, is gelijk aan

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Zie antwoord

Correct alternatief: c) 55.

Als we de vraagfiguur bekijken, zien we dat het DE-segment, dat we willen vinden, hetzelfde is als het BD-segment door het BE-segment af te trekken.

Dus, omdat we weten dat segment BE gelijk is aan 20 cm, moeten we de waarde van segment BD vinden.

Merk op dat het probleem ons de volgende informatie geeft:

Dus om de maat van BD te vinden, moeten we de waarde van het segment AC weten.

Aangezien punt E het segment in twee gelijke delen verdeelt (middelpunt), dan . Daarom is de eerste stap het vinden van de CE-segmentmaat.

Om de CE-meting te vinden, hebben we vastgesteld dat de driehoek BCE een rechthoek is, dat BC de hypotenusa is en BE en CE de benen zijn, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

We zullen dan de stelling van Pythagoras toepassen om de maat van het been te vinden.

25² = 20²+x²
625 = 400 + x²
X² = 625 - 400
X² = 225
x = √225
x = 15 cm

Om de kraag te vinden, hadden we ook kunnen zien dat de driehoek Pythagoras is, dat wil zeggen dat de afmetingen van de zijden meerdere getallen zijn van de afmetingen van de driehoek 3, 4, 5.

Dus als we 4 met 5 vermenigvuldigen, hebben we de waarde van de kraag (20) en als we 5 met 5 vermenigvuldigen, hebben we de hypotenusa (25). Daarom kan het andere been slechts 15 zijn (5. 3).

Nu we de EC-waarde hebben gevonden, kunnen we de andere maten vinden:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30 cm

Daarom is de maat van is gelijk aan 55 cm.

Zie ook: Pythagoras

vraag 6

(IFRS - 2017) Beschouw een gelijkzijdige driehoek met een zijde van 5√3 ܿ݉. Wat is respectievelijk de hoogte en de oppervlakte van deze driehoek?

Zie antwoord

Correct alternatief: e) 7,5 cm en 75√3/4 cm²

Laten we eerst de gelijkzijdige driehoek tekenen en de hoogte plotten, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Merk op dat de hoogte de basis verdeelt in twee segmenten van dezelfde maat, aangezien de driehoek gelijkzijdig is. Merk ook op dat driehoek ACD in de figuur een rechthoekige driehoek is.

Dus, om de hoogtemaat te vinden, zullen we de stelling van Pythagoras gebruiken:

Als we de hoogtemeting kennen, kunnen we het gebied vinden via de formule:

vraag 7

(IFRS - 2016) In onderstaande figuur is de waarde van respectievelijk x en yy

Zie antwoord

Correct alternatief: a) 4√2 en √97.

Om de waarde van x te vinden, passen we de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek met zijden gelijk aan 4 cm.

X² = 4² + 4²
X² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

Om de waarde van y te vinden, gebruiken we ook de stelling van Pythagoras, nu we bedenken dat het ene been 4 cm meet en het andere 9 cm (4 + 5 = 9).

ja² = 4² + 9²
ja² = 16 + 81
y = √97 cm

Daarom is de waarde van x en y respectievelijk 4√2 en √97.

vraag 8

(Apprentice Sailor - 2017) Kijk naar onderstaande figuur.

In de bovenstaande figuur is er een gelijkbenige driehoek ACD, waarin het segment AB 3 cm meet, de ongelijke zijde AD 10√2 cm meet en de segmenten AC en CD loodrecht op elkaar staan. Daarom is het correct om te stellen dat het BD-segment meet:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) 111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Zie antwoord

Correct alternatief: d) √149 cm

Gezien de informatie in het probleem, bouwen we de onderstaande figuur:

Volgens de figuur vinden we dat om de waarde van x te vinden, het nodig zal zijn om de maat te vinden van de zijde die we a noemen.

Aangezien de driehoek ACD een rechthoek is, passen we de stelling van Pythagoras toe om de waarde van het been a te vinden.

Nu we de waarde van a kennen, kunnen we de waarde van x vinden door de rechthoekige driehoek BCD te beschouwen.

Merk op dat het been BC gelijk is aan de afmeting van het been minus 3 cm, dat wil zeggen 10 - 3 = 7 cm. Als we de stelling van Pythagoras toepassen op deze driehoek, krijgen we:

Daarom is het correct om te stellen dat het BD-segment √149 cm meet.

vraag 9

(IFRJ - 2013) Het sportterrein op de Arrozal Campus van een Federaal Instituut is rechthoekig, 100 m lang en 50 m breed, weergegeven door de ABCD-rechthoek in deze figuur.

Alberto en Bruno zijn twee studenten, die op de binnenplaats aan het sporten zijn. Alberto loopt van punt A naar punt C langs de diagonaal van de rechthoek en keert langs hetzelfde pad terug naar het startpunt. Bruno begint bij punt B, loopt het hele erf rond, loopt langs de zijlijnen en keert terug naar het startpunt. Dus, rekening houdend met √5 = 2,24, wordt gesteld dat Bruno meer liep dan Alberto

a) 38 meter.
b) 64 meter.
c) 76 meter.
d) 82 meter.

Zie antwoord

Correct alternatief: c) 76 m.

De diagonaal van de rechthoek verdeelt deze in twee rechthoekige driehoeken, waarbij de hypotenusa de diagonaal is en de zijden gelijk zijn aan de zijden van de rechthoek.

Dus, om de diagonale maat te berekenen, passen we de stelling van Pythagoras toe:

Terwijl Alberto ging en terugkwam, legde hij dus 224 m af.

Bruno legde een afstand af gelijk aan de omtrek van de rechthoek, met andere woorden:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Daarom liep Bruno 76 m langer dan Alberto (300 - 112 = 76 m).

vraag 10

(Enem - 2017) Om een ​​kinderfeesttafel te versieren, gebruikt een chef-kok een bolvormige meloen met een diameter van 10 cm, die zal dienen als ondersteuning om verschillende snoepjes aan te spiesen. Het zal een bolvormige wieldop van de meloen verwijderen, zoals weergegeven in de afbeelding, en, om de stabiliteit van deze steun te garanderen, waardoor het moeilijk wordt voor de meloen om op de tafel te rollen, zal de baas zo snijden dat de straal r van het cirkelvormige snijgedeelte harig is. min 3cm. Aan de andere kant wil de chef-kok een zo groot mogelijk gebied in de regio hebben waar de zoetigheden worden gefixeerd.

Om al zijn doelen te bereiken, moet de baas de meloenhoed afsnijden op een hoogte h, in centimeters, gelijk aan

Zie antwoord

Correct alternatief: c) 1

Door de figuur in de vraag te observeren, hebben we vastgesteld dat de hoogte h kan worden gevonden door de maat van het segment OA te verlagen van de maat van de straal van de bol (R).

De straal van de bol (R) is gelijk aan de helft van zijn diameter, wat in dit geval gelijk is aan 5 cm (10: 2 = 5).

We moeten dus de waarde van het OA-segment vinden. Hiervoor bekijken we de driehoek OAB weergegeven in onderstaande figuur en passen we de stelling van Pythagoras toe.

5² = 3² + x²
X² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

We kunnen ook de waarde van x direct vinden, waarbij we opmerken dat het de Pythagoras-driehoek 3,4 en 5 is.

Dus de waarde van h is gelijk aan:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Daarom moet de chef-kok de meloenkap op een hoogte van 1 cm afsnijden.

vraag 11

(Enem - 2016 - 2e toepassing) Boccia is een sport die wordt gespeeld op banen, die vlakke en vlakke terreinen zijn, begrensd door houten platforms aan de rand. Het doel van deze sport is het gooien van jeu de boules, dit zijn ballen gemaakt van synthetisch materiaal, om plaats ze zo dicht mogelijk bij de bolim, dat is een kleinere bal, bij voorkeur gemaakt van staal, eerder gelanceerd. Figuur 1 illustreert een jeu de boules en een bolim die op een baan werden gespeeld. Stel dat een speler een bal heeft gegooid, met een straal van 5 cm, die tegen de bollin heeft geleund, met een straal van 2 cm, zoals weergegeven in figuur 2.

Beschouw punt C als het middelpunt van de bal en punt O als het middelpunt van de bal. Het is bekend dat A en B de punten zijn waarop respectievelijk de jeu de boules en de bollin de grond van het veld raken, en dat de afstand tussen A en B gelijk is aan d. Wat is onder deze omstandigheden de verhouding tussen d en de straal van de bolim?

Zie antwoord

Correct alternatief: e) √10

Om de waarde van de afstand d tussen de punten A en B te berekenen, bouwen we een figuur die de middelpunten van de twee bollen verbindt, zoals hieronder weergegeven:

Merk op dat de blauwe gestippelde figuur de vorm heeft van een trapeze. Laten we deze trapeze verdelen, zoals hieronder weergegeven:

Door de trapeze te splitsen, krijgen we een rechthoek en een rechthoekige driehoek. De schuine zijde van de driehoek is gelijk aan de som van de straal van de jeu de boules met de straal van de bolim, dat wil zeggen 5 + 2 = 7 cm.

De afmeting van een van de benen is gelijk aan d en de afmeting van het andere been is gelijk aan de afmeting van het segment CA, dat is de straal van de jeu de boules, minus de straal van de bolim (5 - 2 = 3) .

Op deze manier kunnen we de maat van d vinden, door de stelling van Pythagoras toe te passen op deze driehoek, dat wil zeggen:

7² = 3² - van²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Daarom wordt de verhouding tussen de afstand d en de bolim gegeven door:.

vraag 12

(Enem - 2014) Dagelijks verbruikt een woning 20 160 Wh. Deze residentie heeft 100 zonnecellen rechthoekig (apparaten die zonlicht kunnen omzetten in elektrische energie) van 6 cm x 8 cm. Elk van deze cellen produceert gedurende de dag 24 Wh per centimeter diagonaal. De eigenaar van dit huis wil per dag precies dezelfde hoeveelheid energie produceren als zijn huis verbruikt. Wat moet deze eigenaar voor hem doen om zijn doel te bereiken?

a) Verwijder 16 cellen.
b) Verwijder 40 cellen.
c) Voeg 5 cellen toe.
d) Voeg 20 cellen toe.
e) Voeg 40 cellen toe.

Zie antwoord

Correct alternatief: a) Verwijder 16 cellen.

Eerst moet je weten wat de energie-output van elke cel is. Daarvoor moeten we de maat van de diagonaal van de rechthoek vinden.

De diagonaal is gelijk aan de hypotenusa van de driehoek met benen gelijk aan 8 cm en 6 cm. We zullen dan de diagonaal berekenen door de stelling van Pythagoras toe te passen.

We merken echter op dat de driehoek in kwestie Pythagoras is, zijnde een veelvoud van driehoek 3,4 en 5.

Op deze manier zal de afmeting van de hypotenusa gelijk zijn aan 10 cm, aangezien de zijden van de Pythagoras driehoek 3,4 en 5 worden vermenigvuldigd met 2.

Nu we de diagonale meting kennen, kunnen we de energie berekenen die door de 100 cellen wordt geproduceerd, dat wil zeggen:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Aangezien het energieverbruik gelijk is aan 20 160 Wh, zullen we het aantal cellen moeten verminderen. Om dit nummer te vinden, doen we:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Door deze waarde te delen door de energie die door een cel wordt geproduceerd, vinden we het aantal dat moet worden verminderd, dat wil zeggen:

3 840: 240 = 16 cellen

Daarom moet de actie van de eigenaar om zijn doel te bereiken zijn om 16 cellen te verwijderen.

Zie voor meer informatie ook: Trigonometrie-oefeningen