Complexe getallen zijn getallen bestaande uit een reëel en een imaginair deel.
Ze vertegenwoordigen de verzameling van alle geordende paren (x, y), waarvan de elementen tot de verzameling reële getallen (R) behoren.
De verzameling complexe getallen wordt aangegeven met Ç en gedefinieerd door de operaties:
- Gelijkheid: (a, b) = (c, d) ↔ a = c en b = d
- Toevoeging: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Vermenigvuldiging: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Denkbeeldige eenheid (i)
Aangegeven door de letter ik, de denkbeeldige eenheid is het geordende paar (0, 1). Spoedig:
ik. ik = -1 ↔ i2 = –1
Dus, ik is de vierkantswortel van –1.
Algebraïsche vorm van Z
De algebraïsche vorm van Z wordt gebruikt om een complex getal weer te geven met behulp van de formule:
Z = x + yi
Waar:
- X is een reëel getal aangegeven door x = Re (Z), genaamd echt deel van z.
- ja is een reëel getal aangegeven door y = Im(Z), genaamd denkbeeldige deel van Z.
Complexe getalconjugaat
De conjugaat van een complex getal wordt aangegeven door z, gedefinieerd door z = a - bi. Zo wordt het teken van zijn denkbeeldige deel verwisseld.
Dus als z = a + bi, dan is z = a – bi
Wanneer we een complex getal vermenigvuldigen met zijn geconjugeerde, is het resultaat een reëel getal.
Gelijkheid tussen complexe getallen
Twee complexe getallen Z. zijn1 = (a, b) en Z2 = (c, d), zijn ze gelijk als a = c en b = d. Dit komt omdat ze identieke reële en imaginaire delen hebben. Dus:
a + bi = c + di Wanneer a = c en b = d
Bewerkingen met complexe getallen
Met complexe getallen is het mogelijk om optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren. Bekijk de definities en voorbeelden hieronder:
Toevoeging
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
In algebraïsche vorm hebben we:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + ik (b + d)
Voorbeeld:
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + ik (3 + 5)
–2 + 8i
aftrekken
Z1 – Z2 = (a - c, b - d)
In algebraïsche vorm hebben we:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + ik (b - d)
Voorbeeld:
(4 - 5i) - (2 + ik)
(4 – 2) + ik (–5 –1)
2 - 6i
Vermenigvuldiging
(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
In algebraïsche vorm gebruiken we de distributieve eigenschap:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (ik2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + ik (ad + bc)
Voorbeeld:
(4 + 3i). (2 - 5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 - 14i + 15
23 – 14i
Divisie
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
In de bovenstaande gelijkheid, als Z3 = x + yi, we hebben:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + ik (cy + dx)
Door het systeem van onbekenden x en y hebben we:
cx - dy = a
dx + cy = b
Spoedig,
x = ac + bd/c2 + d2
y = bc - ad/c2 + d2
Voorbeeld:
2 - 5i/i
2 – 5i/. (– ik)/ (– ik)
-2i +5i2/–i2
5 – 2i
Toelatingsexamen Oefeningen met feedback
1. (UF-TO) Overweeg: ik de denkbeeldige eenheid van complexe getallen. De waarde van de uitdrukking (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
Alternatief c: 16
2. (UEL-PR) Het complexe getal z dat de vergelijking iz – 2w controleert (1 + i) = 0 (met wie geeft aan dat de geconjugeerde van z) is:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 - i
Alternatief e: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Beschouw het complexe getal z = cos π/6 + i sin π/6. de waarde van z3 + Z6 + Z12 é:
Daar
b) ½ +√3/2i
c) ik – 2
d) ik
e) 2i
Alternatief d: i
Bekijk meer vragen, met becommentarieerde resolutie, in Oefeningen op complexe getallen.
Videolessen
Bekijk de video om je kennis van complexe getallen uit te breiden "Inleiding tot complexe getallen"
Geschiedenis van complexe getallen
De ontdekking van complexe getallen werd gedaan in de 16e eeuw dankzij de bijdragen van de wiskundige Girolamo Cardano (1501-1576).
Het was echter pas in de 18e eeuw dat deze studies werden geformaliseerd door de wiskundige Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Dit was een grote stap voorwaarts in de wiskunde, aangezien een negatief getal een vierkantswortel heeft, wat tot de ontdekking van complexe getallen als onmogelijk werd beschouwd.
Voor meer informatie, zie ook
- Numerieke sets
- Veeltermen
- irrationele nummers
- 1e graads vergelijking
- Potentiëring en straling
