DE tweedegraads vergelijking dankt zijn naam omdat het een polynoomvergelijking is waarvan de term met de hoogste graad in het kwadraat is. Ook wel een kwadratische vergelijking genoemd, wordt weergegeven door:
bijl2 + bx + c = 0
In een 2e graads vergelijking, de X is het onbekende en vertegenwoordigt een onbekende waarde. al de teksten De, B en ç worden vergelijkingscoëfficiënten genoemd.
De coëfficiënten zijn reële getallen en de coëfficiënt De het moet anders zijn dan nul, anders wordt het een 1e graads vergelijking.
Het oplossen van een tweedegraadsvergelijking betekent zoeken naar echte waarden van X, die de vergelijking waar maken. Deze waarden worden de wortels van de vergelijking genoemd.
Een kwadratische vergelijking heeft maximaal twee reële wortels.
Volledige en onvolledige middelbare schoolvergelijkingen
2e graads vergelijkingen compleet zijn degenen die alle coëfficiënten hebben, dat wil zeggen, a, b en c zijn verschillend van nul (a, b, c 0).
Bijvoorbeeld de 5x vergelijking2 + 2x + 2 = 0 is compleet omdat alle coëfficiënten niet nul zijn (a = 5, b = 2 en c = 2).
Een kwadratische vergelijking is incompleet wanneer b = 0 of c = 0 of b = c = 0. Bijvoorbeeld de 2x vergelijking2 = 0 is onvolledig omdat a = 2, b = 0 en c = 0
Opgelost Oefeningen
1) Bepaal de waarden van X die de vergelijking 4x. maken2 - 16 = 0 waar.
Oplossing:
De gegeven vergelijking is een onvolledige 2e graads vergelijking, met b = 0. Voor vergelijkingen van dit type kunnen we oplossen door de te isoleren X. Dus:
Merk op dat de vierkantswortel van 4 2 en - 2 kan zijn, aangezien deze twee gekwadrateerde getallen in 4 resulteren.
Dus de wortels van de 4x vergelijking2 - 16 = 0 are x = - 2 en x = 2
2) Zoek de waarde van x zodat de oppervlakte van de onderstaande rechthoek gelijk is aan 2.
Oplossing:
Het gebied van de rechthoek wordt gevonden door de basis te vermenigvuldigen met de hoogte. We moeten dus de gegeven waarden vermenigvuldigen en gelijk zijn aan 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Laten we nu alle termen vermenigvuldigen:
X. x-1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
X2 - 1x - 2x + 2 = 2
X2 - 3x + 2 - 2 = 0
X2 - 3x = 0
Na het oplossen van de vermenigvuldigingen en vereenvoudigingen vinden we een onvolledige kwadratische vergelijking, met c = 0.
Dit type vergelijking kan worden opgelost met de ontbinden in factoren, omdat de X wordt in beide termen herhaald. Dus we gaan het als bewijs aanvoeren.
X. (x - 3) = 0
Om het product gelijk aan nul te laten zijn, is x = 0 of (x - 3) = 0. Echter, het vervangen van X bij nul zijn de zijmetingen negatief, dus deze waarde is niet het antwoord op de vraag.
Dus we hebben dat het enige mogelijke resultaat is (x - 3) = 0. Deze vergelijking oplossen:
x - 3 = 0
x = 3
Op deze manier wordt de waarde van de X zodat de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan 2 is x = 3.
Bhaskara-formule
Als een kwadratische vergelijking compleet is, gebruiken we de Bhaskara-formule om de wortels van de vergelijking te vinden.
De formule wordt hieronder weergegeven:
Delta formule
In de formule van Bhaskara verschijnt de Griekse letter Δ (delta), wat de discriminant van de vergelijking wordt genoemd, omdat het op basis van zijn waarde mogelijk is om het aantal wortels te weten dat de vergelijking zal hebben.
Om de delta te berekenen gebruiken we de volgende formule:
Stap voor stap
Om een 2e graads vergelijking op te lossen, met behulp van de formule van Bhaskara, moeten we deze stappen volgen:
1e stap: Identificeer de coëfficiënten De, B en ç.
De termen van de vergelijking verschijnen niet altijd in dezelfde volgorde, dus het is belangrijk om te weten hoe u de coëfficiënten kunt identificeren, ongeacht de volgorde waarin ze zich bevinden.
de coëfficiënt De is het getal dat bij de x. hoort2, O B is het nummer dat bij de. hoort X het is de ç is de onafhankelijke term, dat wil zeggen, het getal dat verschijnt zonder de x.
2e stap: Bereken de delta.
Om de wortels te berekenen is het noodzakelijk om de waarde van de delta te kennen. Hiervoor vervangen we de letters in de formule door de coëfficiëntwaarden.
We kunnen uit de deltawaarde van tevoren het aantal wortels weten dat de 2e graads vergelijking zal hebben. Dat wil zeggen, als de waarde van Δ groter is dan nul (Δ > 0), zal de vergelijking twee reële en verschillende wortels hebben.
Als daarentegen delta kleiner is dan nul (Δ ), zal de vergelijking geen echte wortels hebben en als deze gelijk is aan nul (Δ = 0), heeft de vergelijking maar één wortel.
3e stap: Bereken de wortels.
Als de gevonden waarde voor delta negatief is, hoeft u geen berekeningen meer te doen en het antwoord is dat de vergelijking geen echte wortels heeft.
Als de deltawaarde gelijk is aan of groter is dan nul, moeten we alle letters vervangen door hun waarden in de formule van Bhaskara en de wortels berekenen.
Oefening opgelost
Bepaal de wortels van de 2x vergelijking2 - 3x - 5 = 0
Oplossing:
Om dit op te lossen, moeten we eerst de coëfficiënten identificeren, dus we hebben:
een = 2
b = - 3
c = - 5
Nu kunnen we de deltawaarde vinden. We moeten voorzichtig zijn met de regels van tekens en onthouden dat we eerst potentiëring en vermenigvuldiging moeten oplossen, en dan optellen en aftrekken.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Omdat de gevonden waarde positief is, zullen we twee verschillende waarden voor de wortels vinden. We moeten de formule van Bhaskara dus twee keer oplossen. Dus we hebben:
Dus de wortels van de 2x vergelijking2 - 3x - 5 = 0 are x = 5/2 en x = - 1.
2e graads vergelijkingssysteem
Als we waarden willen vinden van twee verschillende onbekenden die tegelijkertijd aan twee vergelijkingen voldoen, hebben we a stelsel van vergelijkingen.
De vergelijkingen waaruit het systeem bestaat, kunnen van de 1e graad en de 2e graad zijn. Om dit soort systeem op te lossen kunnen we de substitutiemethode en de optelmethode gebruiken.
Oefening opgelost
Los het onderstaande systeem op:
Oplossing:
Om het systeem op te lossen, kunnen we de optelmethode gebruiken. Bij deze methode voegen we gelijkaardige termen uit de 1e vergelijking toe aan die uit de 2e vergelijking. Dus reduceren we het systeem tot een enkele vergelijking.
We kunnen nog steeds alle termen van de vergelijking vereenvoudigen met 3 en het resultaat is de vergelijking x2 - 2x - 3 = 0. Als we de vergelijking oplossen, hebben we:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Na het vinden van de x-waarden mogen we niet vergeten dat we nog de y-waarden moeten vinden die het systeem waar maken.
Om dit te doen, vervangt u gewoon de gevonden waarden voor x in een van de vergelijkingen.
ja1 - 6. 3 = 4
ja1 = 4 + 18
ja1 = 22
ja2 - 6. (-1) = 4
ja2 + 6 = 4
ja2 = - 2
Daarom zijn de waarden die voldoen aan het voorgestelde systeem: (3, 22) en (-1, - 2)
Mogelijk bent u ook geïnteresseerd in Eerstegraadsvergelijking.
Opdrachten
vraag 1
Los de volledige kwadratische vergelijking op met behulp van de formule van Bhaskara:
2x2 + 7x + 5 = 0
Allereerst is het belangrijk om elke coëfficiënt in de vergelijking te observeren, daarom:
een = 2
b = 7
c = 5
Via de formule van de discriminant van de vergelijking moeten we de waarde van Δ vinden.
Dit is om later de wortels van de vergelijking te vinden via de algemene formule of de formule van Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Merk op dat als de waarde van Δ groter is dan nul (Δ > 0), zal de vergelijking twee reële en verschillende wortels hebben.
Dus, na het vinden van de Δ, laten we deze vervangen in de formule van Bhaskara:
Daarom zijn de waarden van de twee echte wortels: X1 = - 1 en X2 = - 5/2
Bekijk meer vragen op Vergelijking middelbare school - Oefeningen
vraag 2
Los onvolledige tweedegraadsvergelijkingen op:
a) 5x2 – x = 0
Eerst zoeken we naar de coëfficiënten van de vergelijking:
a=5
b= - 1
c = 0
Het is een onvolledige vergelijking waarbij c = 0.
Om het te berekenen kunnen we factorisatie gebruiken, wat in dit geval x als bewijs levert.
5x2 – x = 0
X. (5x-1) = 0
In deze situatie is het product gelijk aan nul wanneer x = 0 of wanneer 5x -1 = 0. Laten we dus de waarde van x berekenen:
Dus de wortels van de vergelijking zijn X1 = 0 en X2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
een = 2
b = 0
c = - 2
Het is een onvolledige tweedegraadsvergelijking, waarbij b = 0, de berekening kan worden gedaan door de x te isoleren:
X1 = 1 en x2 = - 1
Dus de twee wortels van de vergelijking zijn X1 = 1 en X2 = - 1
c) 5x2 = 0
een = 5
b = 0
c = 0
In dit geval presenteert de onvolledige vergelijking coëfficiënten b en c gelijk aan nul (b = c = 0):
Daarom hebben de wortels van deze vergelijking de waarden X1 = X2 = 0
Lees voor meer informatie ook:
- Kwadratische functie
- Som en product
- Ongelijkheid
- irrationele vergelijkingen
- Vertex van de gelijkenis
