een tweedegraads vergelijking is de hele vergelijking in de vorm bijl2 + bx + c = 0, met a, b en c reële getallen en a ≠ 0. Om een vergelijking van dit type op te lossen, kunt u verschillende methoden gebruiken.
Gebruik de becommentarieerde resoluties van de onderstaande oefeningen om al je twijfels weg te nemen. Test ook zeker je kennis met de opgeloste wedstrijdvragen.
Oefeningen met commentaar Exercise
Oefening 1
De leeftijd van mijn moeder vermenigvuldigd met mijn leeftijd is 525. Als mijn moeder 20 jaar oud was toen ik werd geboren, hoe oud ben ik dan?
Oplossing
Gezien mijn leeftijd gelijk aan X, kunnen we dan aannemen dat de leeftijd van mijn moeder gelijk is aan x + 20. Hoe kennen we de waarde van het product van onze tijd, dan:
X. (x + 20) = 525
Toepassen op de distributieve eigenschappen van vermenigvuldiging:
X2 + 20x - 525 = 0
We komen dan tot een volledige 2e graads vergelijking, met a = 1, b = 20 en c = - 525.
Om de wortels van de vergelijking te berekenen, dat wil zeggen de waarden van x waarbij de vergelijking gelijk is aan nul, gebruiken we de formule van Bhaskara.
Eerst moeten we de waarde van ∆ berekenen:
Om de wortels te berekenen, gebruiken we:
Als we de waarden in de bovenstaande formule vervangen, zullen we de wortels van de vergelijking vinden, zoals deze:
Omdat mijn leeftijd niet negatief kan zijn, verachten we de waarde -35. Dus het resultaat is 15 jaar.
Oefening 2
Een vierkant, weergegeven in de onderstaande afbeelding, heeft een rechthoekige vorm en de oppervlakte is gelijk aan 1 350 m2. Wetende dat de breedte overeenkomt met 3/2 van de hoogte, bepaalt u de afmetingen van het vierkant.
Oplossing
Aangezien de hoogte gelijk is aan X, de breedte is dan gelijk aan 3/2x. Het gebied van een rechthoek wordt berekend door de basis te vermenigvuldigen met de hoogtewaarde. In dit geval hebben we:
We komen tot een onvolledige 2e graads vergelijking, met a = 3/2, b = 0 en c = - 1350, we kunnen dit type vergelijking berekenen door de x te isoleren en de vierkantswortel te berekenen.
Omdat de waarde van x de hoogtemaat vertegenwoordigt, zullen we de - 30 buiten beschouwing laten. De hoogte van de rechthoek is dus gelijk aan 30 m. Om de breedte te berekenen, vermenigvuldigen we deze waarde met 3/2:
Daarom is de vierkante breedte gelijk aan 45 m en de hoogte is gelijk aan 30 m.
Oefening 3
Zodat x = 1 de wortel is van de vergelijking 2ax2 + (2e2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, de waarden van a moeten zijn:
a) 3 en 2
b) - 1 en 1
c) 2 en - 3
d) 0 en 2
e) - 3 en - 2
Oplossing
Om de waarde van a te vinden, vervangen we eerst x door 1. Op deze manier ziet de vergelijking er als volgt uit:
2.a.12 + (2e2 - tot - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2e + 2e2 - tot - 4 - 2 - tot2 = 0
De2 + tot - 6 = 0
Nu moeten we de wortel van de volledige 2e graads vergelijking berekenen, daarvoor zullen we de formule van Bhaskara gebruiken.
Daarom is het juiste alternatief de letter C.
Wedstrijdvragen
1) Epcar - 2017
Beschouw, in ℝ, de vergelijking (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 in variabele x, waarbij m is een reëel getal anders dan - 2.
Bekijk de onderstaande uitspraken en beoordeel ze als een V (TRUE) of F (FALSE).
( ) Voor alle m > 2 heeft de vergelijking een lege oplossingsverzameling.
( ) Er zijn twee reële waarden van m voor de vergelijking om gelijke wortels toe te laten.
( ) In de vergelijking, als ∆ >0, dan kan m alleen positieve waarden aannemen.
De juiste volgorde is
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Laten we naar elk van de uitspraken kijken:
Voor alle m > 2 heeft de vergelijking een lege oplossingsverzameling
Aangezien de vergelijking van de tweede graad in ℝ is, zal deze geen oplossing hebben als de delta kleiner is dan nul. Als we deze waarde berekenen, hebben we:
De eerste stelling is dus waar.
Er zijn twee reële waarden van m voor de vergelijking om gelijke wortels toe te laten.
De vergelijking heeft gelijke reële wortels als Δ=0, dat wil zeggen:
- 4m + 8 =0
m=2
Daarom is de verklaring onwaar, omdat er maar één waarde van m is waarbij de wortels reëel en gelijk zijn.
In de vergelijking, als ∆ >0, dan kan m alleen positieve waarden aannemen.
Voor Δ>0 hebben we:
Aangezien er in de verzameling oneindige reële getallen negatieve getallen kleiner dan 2 zijn, is de bewering ook onwaar.
Alternatief d: V-F-F
2) Coltec-UFMG-2017
Laura moet een 2e graads vergelijking oplossen in 'thuis', maar realiseert zich dat ze bij het kopiëren van het schoolbord naar het notitieboekje vergeten is de coëfficiënt van x te kopiëren. Om de vergelijking op te lossen, noteerde hij deze als volgt: 4x2 + bijl + 9 = 0. Omdat ze wist dat de vergelijking maar één oplossing had, en deze was positief, kon ze de waarde van a bepalen, wat
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
Wanneer een vergelijking van de 2e graad een enkele oplossing heeft, is de delta, uit de formule van Bhaskara, gelijk aan nul. Dus om de waarde van te vinden De, bereken gewoon de delta, waarbij de waarde gelijk is aan nul.
Dus als a = 12 of a = - 12 heeft de vergelijking maar één wortel. We moeten echter nog steeds controleren welke van de waarden van De het resultaat zal een positieve wortel zijn.
Laten we daarvoor de wortel vinden, voor de waarden van De.
Dus voor a = -12 heeft de vergelijking slechts één wortel en positief.
Alternatief b: -12
3) Vijand - 2016
Een tunnel moet worden afgedicht met een betonnen afdekking. De doorsnede van de tunnel en de betonnen afdekking hebben de contouren van een paraboolboog en dezelfde afmetingen. Om de kosten van het werk te bepalen, moet een ingenieur het gebied onder de betreffende parabolische boog berekenen. Met behulp van de horizontale as op grondniveau en de symmetrie-as van de parabool als de verticale as, verkreeg hij de volgende vergelijking voor de parabool:
y = 9 - x2, waarbij x en y worden gemeten in meters.
Het is bekend dat de oppervlakte onder een dergelijke parabool gelijk is aan 2/3 van de oppervlakte van de rechthoek waarvan de afmetingen respectievelijk gelijk zijn aan de basis en de hoogte van de tunnelingang.
Wat is de oppervlakte van de voorkant van de betonnen afdekking, in vierkante meters?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Om dit probleem op te lossen, moeten we de afmetingen van de basis en hoogte van de tunnelingang vinden, zoals: het probleem vertelt ons dat de oppervlakte van de voorkant gelijk is aan 2/3 van de oppervlakte van de rechthoek met deze afmetingen.
Deze waarden worden gevonden uit de gegeven 2e graads vergelijking. De parabool van deze vergelijking heeft de concaafheid afgewezen, omdat de coëfficiënt De is negatief. Hieronder volgt een schets van deze gelijkenis.
Uit de grafiek kunnen we zien dat de maat van de basis van de tunnel wordt gevonden door de wortels van de vergelijking te berekenen. De hoogte ervan zal al gelijk zijn aan de maat van het hoekpunt.
Om de wortels te berekenen, zien we dat de vergelijking 9 - x2 is onvolledig, dus we kunnen de wortels ervan vinden door de vergelijking gelijk te stellen aan nul en de x te isoleren:
Daarom zal de afmeting van de basis van de tunnel gelijk zijn aan 6 m, dat wil zeggen de afstand tussen de twee wortels (-3 en 3).
Als we naar de grafiek kijken, zien we dat het hoekpunt overeenkomt met de waarde op de y-as dat x gelijk is aan nul, dus we hebben:
Nu we de afmetingen van de basis en hoogte van de tunnel kennen, kunnen we de oppervlakte ervan berekenen:
Alternatief c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Voor welke waarde van "a" heeft de vergelijking (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2).(- ax + 1) = 0 twee wortels en is gelijk?
naar 1
b) 0
c) 1
d) 2
Om een 2e graads vergelijking twee gelijke wortels te laten hebben, is het noodzakelijk dat Δ=0, dat wil zeggen, b2-4ac=0. Voordat we de delta berekenen, moeten we de vergelijking schrijven in de vorm ax2 + bx + c = 0.
We kunnen beginnen met het toepassen van de distributieve eigenschap. We merken echter op dat (x - 2 ) in beide termen wordt herhaald, dus laten we het als bewijs gebruiken:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Nu we het product distribueren, hebben we:
bijl2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Als we de Δ berekenen en gelijk zijn aan nul, vinden we:
Dus als a = 1, heeft de vergelijking twee gelijke wortels.
Alternatief c: 1
Voor meer informatie, zie ook:
- tweedegraads vergelijking
- Eerstegraadsvergelijking
- Kwadratische functie
- Kwadratische functie - Oefeningen
- Lineaire functie
- Gerelateerde functie-oefeningen