Ongelijkheid van 1e en 2e graad: hoe op te lossen en oefeningen

Inequatie is een wiskundige zin die ten minste één onbekende waarde (onbekend) heeft en een ongelijkheid vertegenwoordigt.

In de ongelijkheden gebruiken we de symbolen:

• > groter dan
• ≥ groter dan of gelijk aan
• ≤ kleiner dan of gelijk aan

Voorbeelden

a) 3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Ongelijkheid in de eerste graad

Een ongelijkheid is van de 1e graad als de grootste exponent van het onbekende gelijk is aan 1. Ze kunnen de volgende vormen aannemen:

• bijl + b >0
• bijl + b
• bijl + b ≥ 0
• bijl + b ≤ 0

Wezen De en B echte getallen en De ≠ 0

Oplossen van een eerstegraads ongelijkheid.

Om zo'n ongelijkheid op te lossen, kunnen we het op dezelfde manier doen als in vergelijkingen.

We moeten echter voorzichtig zijn wanneer het onbekende negatief wordt.

In dit geval moeten we vermenigvuldigen met (-1) en het ongelijkheidssymbool omkeren.

Voorbeelden

a) Los de ongelijkheid 3x + 19. op

Om de ongelijkheid op te lossen, moeten we de x isoleren en de 19 en de 3 doorgeven aan de andere kant van de ongelijkheid.

Onthoud dat wanneer we van kant wisselen, we de operatie moeten veranderen. Dus de 19 die aan het optellen was, gaat door met afnemen en de 3 die aan het vermenigvuldigen was, gaat door met delen.

3xxx

b) Hoe los je de ongelijkheid 15 - 7x ≥ 2x - 30 op?

Als er algebraïsche termen (x) aan beide kanten van de ongelijkheid staan, moeten we ze aan dezelfde kant samenvoegen.
Door dit te doen, veranderen de nummers die van kant veranderen van teken.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Laten we nu de gehele ongelijkheid vermenigvuldigen met (-1). Om dit te doen, veranderen we het teken van alle termen:

9x ≤ 45 (merk op dat we het symbool ≥ omkeren naar ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Daarom is de oplossing voor deze ongelijkheid: x ≤ 5.

Resolutie met behulp van de ongelijkheidsgrafiek

Een andere manier om een ​​ongelijkheid op te lossen, is door deze uit te tekenen op het cartesiaanse vlak.

In de grafiek bestuderen we het teken van ongelijkheid door te identificeren welke waarden van X verander ongelijkheid in een ware zin.

Om een ​​ongelijkheid met deze methode op te lossen, moeten we de stappen volgen:

1e) Leg alle termen van de ongelijkheid aan dezelfde kant.
2º) Vervang het teken van ongelijkheid door dat van gelijkheid.
3e) Los de vergelijking op, dat wil zeggen, vind de wortel.
4e) Bestudeer het teken van de vergelijking en identificeer de waarden van X die de oplossing van de ongelijkheid vertegenwoordigen.

Voorbeeld

Los de ongelijkheid 3x + 19. op

Laten we eerst de ongelijkheid opschrijven met alle termen aan één kant van de ongelijkheid:

3x + 19 - 40 3x - 21

Deze uitdrukking geeft aan dat de oplossing van de ongelijkheid de waarden van x zijn die de ongelijkheid negatief maken (

Zoek de wortel van de vergelijking 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (wortel van de vergelijking)

Vertegenwoordig in het Cartesiaanse vlak de paren punten die zijn gevonden bij het vervangen van waarden in de X in de vergelijking. De grafiek van dit type vergelijking is a Rechtdoor.

We hebben vastgesteld dat de waarden

Tweedegraads ongelijkheid

Een ongelijkheid is van de 2e graad als de grootste exponent van het onbekende gelijk is aan 2. Ze kunnen de volgende vormen aannemen:

• bijl² + bx + c > 0
• bijl² + bx + c
• bijl² + bx + c ≥ 0
• bijl² + bx + c ≤ 0

Wezen De, B en ç echte getallen en De ≠ 0

We kunnen dit type ongelijkheid oplossen met behulp van de grafiek die de vergelijking van de 2e graad voorstelt om het teken te bestuderen, net zoals we deden voor de ongelijkheid van de 1e graad.

Onthoud dat in dit geval de afbeelding a gelijkenis.

Voorbeeld

Los ongelijkheid x. op² - 4x - 4

Om een ​​​​ongelijkheid van de tweede graad op te lossen, is het noodzakelijk om waarden te vinden waarvan de uitdrukking aan de linkerkant van het teken

Identificeer eerst de coëfficiënten:

een = 1
b = - 1
c = - 6

Wij gebruiken de bhaskara-formule (Δ = b² - 4ac) en we vervangen de waarden van de coëfficiënten:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Voortbordurend op de formule van Bhaskara, hebben we opnieuw de waarden van onze coëfficiënten vervangen:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

X₁ = (1 + 5)/ 2
X₁ = 6 / 2
X₁ = 3

X₂ = (1 - 5) / 2
X₁ = - 4 / 2
X₁ = - 2

De wortels van de vergelijking zijn -2 en 3. als de Devan de 2e graads vergelijking positief is, zal de grafiek ervan de holte naar boven hebben.

Uit de grafiek zien we dat de waarden die voldoen aan de ongelijkheid zijn: - 2

We kunnen de oplossing aangeven met de volgende notatie:

Lees ook:

• Eerstegraadsvergelijking
• tweedegraads vergelijking
• Vergelijkingssystemen

Opdrachten

1. (FUVEST 2008) Op medisch advies moet een persoon gedurende een korte periode een dieet volgen dat een dagelijks minimum van 7 milligram vitamine A en 60 microgram vitamine D, uitsluitend gevoed met een speciale yoghurt en een mengsel van granen, ondergebracht in pakketjes.

Elke liter yoghurt levert 1 milligram vitamine A en 20 microgram vitamine D. Elk pakje ontbijtgranen levert 3 milligram vitamine A en 15 microgram vitamine D.

Door dagelijks x liter yoghurt en y pakjes ontbijtgranen te consumeren, weet de persoon zeker dat hij het dieet volgt als:

a) x + 3j ≥ 7 en 20x + 15j ≥ 60
b) x + 3j ≤ 7 en 20x + 15j ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 en 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 en 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 en 3x + 20y ≥ 60

Zie antwoord

Alternatief voor: x + 3y ≥ 7 en 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Een stad wordt bediend door twee telefoonmaatschappijen. Bedrijf X rekent een maandelijks abonnement van R$ 35,00 plus R$ 0,50 per gebruikte minuut. Bedrijf Y brengt per maand een abonnement in rekening van R$ 26,00 plus R$ 0,50 per gebruikte minuut. Na hoeveel minuten gebruik wordt het abonnement van bedrijf X gunstiger voor klanten dan het abonnement van bedrijf Y?

Zie antwoord

26 + 0,65 m > 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m > 35 - 26
0,15 m > 9
m > 9/0.15
m > 60

Na 60 minuten is het bedrijf X-plan voordeliger.