Gelijkenis van driehoeken: becommentarieerde en opgeloste oefeningen

DE driehoek gelijkenis wordt gebruikt om de onbekende maat van een driehoek te vinden door de maten van een andere driehoek te kennen.

Wanneer twee driehoeken gelijkvormig zijn, zijn de afmetingen van hun corresponderende zijden evenredig. Deze relatie wordt gebruikt om veel meetkundige problemen op te lossen.

Maak dus gebruik van de oefeningen die zijn becommentarieerd en opgelost om al uw twijfels op te lossen.

Problemen opgelost

1) Zeemansleerling - 2017

Zie onderstaande figuur

Een gebouw werpt een 30 m lange schaduw op de grond op hetzelfde moment dat een 6 m lange persoon een 2,0 m schaduw werpt. Het kan gezegd worden dat de hoogte van het gebouw de moeite waard is

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Zie antwoord

We kunnen aannemen dat het gebouw, zijn geprojecteerde schaduw en de zonnestraal een driehoek vormen. Evenzo hebben we ook een driehoek gevormd door de persoon, zijn schaduw en de zonnestraal.

Gezien het feit dat de zonnestralen evenwijdig zijn en dat de hoek tussen het gebouw en de grond en de persoon is de grond is gelijk aan 90º, de driehoeken, aangegeven in onderstaande figuur, zijn gelijkvormig (twee hoeken gelijk).

Omdat de driehoeken gelijkvormig zijn, kunnen we de volgende verhouding schrijven:

Alternatief: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

In de figuur heeft rechthoek ABCD zijden met lengte AB = 4 en BC = 2. Laat M het middelpunt van de zijde zijn en N het middelpunt van de zijde . de segmenten het segment onderscheppen op respectievelijk de punten E en F.

Het gebied van driehoek AEF is gelijk aan

Zie antwoord

Het gebied van driehoek AEF kan worden gevonden door het gebied van driehoek ABE te verkleinen van het gebied van driehoek AFB, zoals hieronder weergegeven:

Laten we beginnen met het vinden van het gebied van de AFB-driehoek. Hiervoor moeten we de hoogtewaarde van deze driehoek achterhalen, aangezien de basiswaarde bekend is (AB = 4).

Merk op dat driehoeken AFB en CFN vergelijkbaar zijn omdat ze twee gelijke hoeken hebben (geval AA), zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding:

Laten we de hoogte H. plotten₁, ten opzichte van zijde AB, in driehoek AFB. Aangezien de maat van zijde CB gelijk is aan 2, kunnen we aannemen dat de relatieve hoogte van zijde NC in driehoek FNC gelijk is aan 2 - H₁.

We kunnen dan de volgende verhouding schrijven:

Als we de hoogte van de driehoek kennen, kunnen we de oppervlakte ervan berekenen:

Om het gebied van driehoek ABE te vinden, moet u ook de hoogtewaarde berekenen. Hiervoor zullen we gebruik maken van het feit dat de ABM- en AOE-driehoeken, aangegeven in de onderstaande figuur, vergelijkbaar zijn.

Verder is driehoek OEB een rechthoekige driehoek en zijn de andere twee hoeken gelijk (45º), dus is het een gelijkbenige driehoek. Dus de twee benen van deze driehoek zijn H. waard₂, zoals de afbeelding hieronder:

Dus de zijde AO van driehoek AOE is gelijk aan 4 - H_2. Op basis van deze informatie kunnen we de volgende verhouding aangeven:

Als we de hoogtewaarde kennen, kunnen we nu het gebied van driehoek ABE berekenen:

Het gebied van de driehoek AFE is dus gelijk aan:

Alternatief: d)

3) Cefet/MG-2015

De volgende afbeelding stelt een rechthoekige pooltafel voor, met een breedte en lengte van respectievelijk 1,5 en 2,0 m. Een speler moet de witte bal vanaf punt B gooien en eerst de zwarte bal raken op punt P, zonder een andere te raken. Omdat de gele op punt A staat, gooit deze speler de witte bal naar punt L, zodat deze kan stuiteren en botsen met de zwarte.

Als de hoek van het pad van inval van de bal aan de zijkant van de tafel en de stuiterhoek gelijk zijn, zoals weergegeven in de figuur, dan is de afstand van P tot Q, in cm, ongeveer

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Zie antwoord

De driehoeken, rood gemarkeerd in de onderstaande afbeelding, zijn vergelijkbaar, omdat ze twee gelijke hoeken hebben (hoek gelijk aan α en hoek gelijk aan 90º).

Daarom kunnen we de volgende verhouding schrijven:

Alternatief: a) 67

4) Militaire Universiteit/RJ - 2015

In een driehoek ABC behoren de punten D en E respectievelijk tot zijden AB en AC en zijn zodanig dat DE / / BC. Als F een punt van AB is zodat EF / / CD en de afmetingen van AF en FD e respectievelijk 4 en 6 zijn, dan is de afmeting van het segment DB:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Zie antwoord

We kunnen de driehoek ABC voorstellen, zoals hieronder weergegeven:

Aangezien het segment DE evenwijdig is aan BC, zijn de driehoeken ADE en ABC vergelijkbaar in die zin dat hun hoeken congruent zijn.

We kunnen dan de volgende verhouding schrijven:

Driehoeken FED en DBC zijn ook vergelijkbaar, omdat segmenten FE en DC evenwijdig zijn. De volgende verhouding is dus ook waar:

Als we de y in deze verhouding isoleren, hebben we:

De y-waarde in de eerste gelijkheid vervangen:

Alternatief: a) 15

5) Epcar - 2016

Een land in de vorm van een rechthoekige driehoek wordt in twee percelen verdeeld door een omheining gemaakt op de bissectrice van de hypotenusa, zoals weergegeven in de afbeelding.

Het is bekend dat de zijden AB en BC van dit terrein respectievelijk 80 m en 100 m meten. Dus de verhouding tussen de omtrek van perceel I en de omtrek van perceel II, in die volgorde, is

Zie antwoord

Om de verhouding tussen de omtrekken te bepalen, moeten we de waarde van alle zijden van figuur I en figuur II weten.

Merk op dat de bissectrice van de hypotenusa de BC-zijde in twee congruente segmenten verdeelt, zodat de CM- en MB-segmenten 50 m meten.

Aangezien de driehoek ABC een rechthoek is, kunnen we de zijde AC berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Merk echter op dat deze driehoek een Pythagoras-driehoek is.

Dus de hypotenusa is gelijk aan 100 (5. 20) en één twee benen gelijk aan 80 (4,20), dan kan het andere been alleen gelijk zijn aan 60 (3,20).

We hebben ook vastgesteld dat driehoeken ABC en MBP vergelijkbaar zijn (geval AA), omdat ze een gemeenschappelijke hoek hebben en de andere gelijk is aan 90º.

Dus om de waarde van x te vinden, kunnen we de volgende verhouding schrijven:

De waarde van z kan worden gevonden gezien de verhouding:

We kunnen de waarde van y ook vinden door te doen:

Nu we alle kanten kennen, kunnen we de omtrekken berekenen.

Omtrek van figuur I:

Omtrek van figuur II:

Daarom zal de verhouding tussen de omtrekken gelijk zijn aan:

Alternatief: d)

6) Vijand - 2013

De eigenaar van een boerderij wil een steunstang plaatsen om twee palen met lengtes gelijk aan 6 m en 4 m beter vast te zetten. De figuur geeft de werkelijke situatie weer waarin de palen worden beschreven door de segmenten AC en BD en de staaf wordt weergegeven door het EF-segment, allemaal loodrecht op de grond, wat wordt aangegeven door het rechte lijnsegment AB. Segmenten AD en BC vertegenwoordigen staalkabels die zullen worden geïnstalleerd.

Wat moet de waarde van de staaflengte EF zijn?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

Zie antwoord

Om het probleem op te lossen, noemen we de steelhoogte als z en de metingen van de AF- en FB-segmenten van X en ja, respectievelijk, zoals hieronder weergegeven:

Driehoek ADB is vergelijkbaar met driehoek AEF in die zin dat beide een hoek gelijk aan 90 ° en een gemeenschappelijke hoek hebben, dus ze zijn vergelijkbaar in het geval AA.

Daarom kunnen we de volgende verhouding schrijven:

Vermenigvuldigen "in een kruis", krijgen we de gelijkheid:

6x = h (x + y) (I)

Aan de andere kant zullen de driehoeken ACB en FEB ook vergelijkbaar zijn, om dezelfde redenen die hierboven zijn uiteengezet. We hebben dus de verhouding:

Op dezelfde manier oplossen:

4y = h (x + y) (II)

Merk op dat vergelijkingen (I) en (II) dezelfde uitdrukking hebben na het gelijkteken, dus we kunnen zeggen dat:

6x = 4y

Vervanging van de waarde van x in de tweede vergelijking:

Alternatief: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

In de figuur is driehoek ABC rechthoekig met zijden BC = 3 en AB = 4. Daarnaast behoort punt D tot het sleutelbeen. , het punt E behorend bij het sleutelbeen en punt F behoort tot de hypotenusa , zodat DECF een parallellogram is. als , dus de oppervlakte van het DECF-parallellogram is de moeite waard

Zie antwoord

Het parallellogramgebied wordt gevonden door de basiswaarde te vermenigvuldigen met de hoogte. Laten we h de hoogte noemen en x de basismaat, zoals hieronder weergegeven:

Aangezien DECF een parallellogram is, zijn de zijden twee aan twee evenwijdig. Op deze manier zijn de zijden AC en DE evenwijdig. Dus de hoeken ze zijn hetzelfde.

We kunnen dan vaststellen dat driehoeken ABC en DBE gelijksoortig zijn (geval AA). We hebben ook dat de schuine zijde van driehoek ABC gelijk is aan 5 (driehoek 3,4 en 5).

Laten we op deze manier de volgende verhouding schrijven:

Om de maat x van de basis te vinden, zullen we de volgende verhouding beschouwen:

Als we het parallellogramgebied berekenen, hebben we:

Alternatief: a)