DE ontleding van priemfactoren is een zeer belangrijk hulpmiddel bij wiskundige ontwikkeling, omdat het mogelijk is om numerieke uitdrukkingen te vereenvoudigen of algebraïsch en bereken MDC of MMC van hele getallen.
De ontleding in priemfactoren is een van de belangrijkste resultaten op het gebied van algebra en staat formeel bekend als de fundamentele stelling van de rekenkunde, die stelt dat alle positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven (of ontleed) in de vorm van vermenigvuldiging van priemgetallen.
Lees ook: Eigenschappen van vermenigvuldiging voor mentale berekening
Hoe ontleden in priemfactoren?
Het is essentieel om het concept van priemgetallen te begrijpen, aangezien we ze gaan gebruiken om gehele getallen op te splitsen. Hier komen we kort terug op de definitie van priemgetallen.
|
Priemgetallen zijn de priemgetallen die voorkomen in uw lijst met: verdelers alleen de nummer 1 en zichzelf. Om bijvoorbeeld te controleren of de getallen 11 en 21 priemgetallen zijn of niet, moeten we de delers van beide getallen opsommen: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Merk op dat bij het opsommen van de delers van 11 alleen het getal 1 en zichzelf verschijnen, dus de nummer 11 is priem, wat niet van toepassing is op nummer 21, dat meer nummers heeft dan 1 en 21, dus het getal 21 is geen priemgetal. de belangrijkste priemgetallen die we gebruiken om de decompositie uit te voeren, zijn de eerste, dus het is erg belangrijk dat we ten minste de volgende priemgetallen kennen: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …} |
Ontleding van priemfactoren is een zeer krachtig hulpmiddel binnen de wiskunde, omdat het de vereenvoudiging van algebraïsche en numerieke uitdrukkingen. Formeel staat de ontleding in priemfactoren bekend als de fundamentele stelling van de rekenkunde, waarin staat:
"Elk geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als een vermenigvuldiging van priemgetallen."
Bovendien is deze ontleding uniek voor elk getal, dat wil zeggen, bij het ontleden van bijvoorbeeld het getal 12, zal het de enige zijn met een dergelijke ontbinden in factoren. Het nummer dat een decompositie toelaat, wordt genoemd verbinding.
Hoe een samengesteld getal te ontleden?
Om een samengesteld getal te ontleden, moeten we uitvoeren divisies opeenvolgende priemgetallen - als deling mogelijk is - totdat het quotiënt gelijk is aan 1. Aan het einde moeten we de priemgetallen schrijven die worden gebruikt in de vermenigvuldigingsvorm (gefactoreerde vorm). Zie de voorbeelden hieronder:
voorbeeld 1
Schrijf het getal 24 in ontbonden vorm.
Om het getal 24 in factorvorm te schrijven, moeten we het delen door de eerste priemgetal dat mogelijk is, dat wil zeggen, deel het getal 24 door een priemgetal waarin de deling exact is.
De... gebruiken delingsalgoritme:, laten we de 24 delen door2.
Het nu gevonden quotiënt was het getal 12, dus we moeten het opnieuw delen door het eerste priemgetal waarvan de deling exact is, dat wil zeggen door2.
Wij moeten ga door met dit proces totdat het quotiënt gelijk is aan 1. Merk op dat het quotiënt nu gelijk is aan 6, dus we kunnen het delen door 2, aangezien het getal 2 het eerste priemgetal is waarvoor deling nog mogelijk is.
Merk op dat het quotiënt nu gelijk is aan 3, dus het is niet mogelijk om het te delen door 2. Laten we het in deze gevallen delen door het volgende priemgetal waarvan de deling exact is, dat wil zeggen door3.
Aangezien het quotiënt gelijk is aan 1, is de ontbinding beëindigd, het is nu voldoende om de priemgetallen (die in de sleutel staan) als een product te schrijven. Kijken:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Zie dat we het getal 24 in productvorm hebben geschreven. Dat betekent dat we het getal 24 hebben ontbonden met priemgetallen.
Voorbeeld 2
Schrijf het getal 25 in zijn ontbonden vorm.
In dit voorbeeld gaan we het delingsalgoritme opnieuw gebruiken, maar we gaan het anders schrijven, zie:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Het getal 25, in factorvorm, is:
25 = 5 ·5
25 = 52
Lees ook: Deelbaarheidscriteria - processen die de delingsoperatie vergemakkelijken
Praktische methode om ontleding van priemfactoren uit te voeren
Kijkend naar de vorige methode, als het getal dat moet worden ontbonden erg groot is, zoals het getal 1024, hebben we iets vrij bewerkelijk, omdat opeenvolgende delingen door priemgetallen nodig zullen zijn totdat het quotiënt gelijk is naar 1.
De methode die we hierna zullen zien, is niets meer dan een vereenvoudiging van de indeling. In plaats van alle elementen van de deling op te schrijven (deler, deeltal, quotiënt en rest), laten we alleen het priemgetal plaatsen waardoor we het te ontbinden getal gaan delen en het quotiënt van de deling. Zie de voorbeelden:
Factoring van het getal 60
Om het getal 60 te ontbinden, laten we hetzelfde stap voor stap volgen, maar laten we gewoon het quotiënt van de deling (dat wil zeggen, het resultaat) en het priemgetal waarmee we het getal 60 gaan delen, schrijven.
Zie dat bij het delen van de 60 door2,het resultaat is 30 en door het getal 30 te delen door 2, het resultaat is 15, enzovoort totdat het resultaat van de deling gelijk is aan 1. Het proces blijft hetzelfde, het enige verschil zit in de vereenvoudiging van de informatie.
Het getal 60, in zijn ontbonden vorm, is:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
opgeloste oefeningen
vraag 1 - Ontleed het getal 192 in priemfactoren.
Resolutie
Het getal 192, in zijn ontlede vorm, is:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
vraag 2 – Beschouw de getallen p en q zodanig dat p = 25 · 5 en q = 32. Bepaal de verhouding tussen q en p.
Resolutie
De verhouding tussen twee getallen is de scheiding ertussen. We moeten altijd de volgorde volgen waarin ze werden gegeven om q te delen door p. Laten we, voordat we de feitelijke deling uitvoeren, het getal q ontbinden, op zoek naar een manier om de berekening te vereenvoudigen.
We hebben q = 32, dus we kunnen het als volgt schrijven:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Nu we het getal q hebben ontbonden, kunnen we de verhouding tussen q en p samenstellen en de waarden vervangen.
