Som van termen van een PA

De som van de termen van a rekenkundige progressie (PA) kan worden verkregen via het volgende: formule:

In deze formule, S_Nee vertegenwoordigt de som van termen, een₁ het is de eerstetermijn en de_Nee het is de laatstetermijn van de BP in kwestie, n is het aantal termen dat zal zijnopgeteld. Om de termen van een rekenkundige progressie toe te voegen, vervangt u eenvoudig de waarden in deze formule.

Voorbeelden van optelling van termen in een PA

Hieronder staan ​​twee voorbeelden van hoe u: formule hierboven gepresenteerd kan worden gebruikt om de somVantermen van een PAN.

→ Voorbeeld 1

Bepalen somVantermen van de volgende PA: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).

Houd er rekening mee dat om de gegeven formule te gebruiken:

De₁ = 2

De_Nee = 40

n = 20

Deze laatste gegevens (aantal termen) zijn verkregen door het tellen van de termen van de PA. Als we deze gegevens in de formule toepassen, hebben we:

Dus de somVantermen van deze PA is 420.

Merk op dat deze formule alleen geldig is voor

rekenkundige progressies wie heeft een eindig getal van termen. Als de PA oneindig is, zal het nodig zijn om het aantal termen dat zal worden toegevoegd te beperken. Wanneer dit gebeurt, kan het nodig zijn om andere kennis over AP te gebruiken om de laatst toe te voegen term te verkrijgen.

Zie hieronder een voorbeeld van het optellen van de termen van een oneindige PA:

→ Voorbeeld 2

Bepaal de som van de eerste 50 termen van de volgende BP: (5, 10, 15, …).

Merk op dat dit PANis oneindig, dit blijkt uit de ellipsen. De eerste term is 5, evenals de BP-ratio, als 10 – 5 = 5. Omdat we de som van de eerste 50 termen willen vinden, wordt de 50e term vertegenwoordigd door a₅₀. Om de waarde ervan te achterhalen, kunnen we de formule van gebruiken algemene looptijd van de PA:

In deze formule is r de BP-ratio. Vervanging van de waarden gegeven in de verklaring hierin formule, we zullen hebben:

Wetende dat de 50e term 250 is, kunnen we de formule van gebruiken somVantermen om de som van de eerste 50 termen te krijgen (S₅₀) van deze PA:

Gauss en de som van termen van een PA

Er wordt gezegd dat de Duitse wiskundige Gauss de eerste was die een alternatieve methode gebruikte om toevoegentermen van een PAN, zonder term voor term toe te voegen. Later bleek zijn idee om stappen te vereenvoudigen de formule die werd gebruikt om de som te vinden.

Het verhaal gaat dat Gauss als kind een leraar had die de hele klas strafte: alle getallen van 1 tot 100 optellen.

Gauss realiseerde zich dat het toevoegen van het eerste getal aan het laatste, het tweede aan het voorlaatste, enzovoort hetzelfde resultaat gaf:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101
…

Zijn grootste taak was om te observeren dat, terwijl hij twee getallen optelde, hij 50 resultaten zou vinden die gelijk zijn aan 101, dat wil zeggen, de som van alle getallen van 1 tot 100 kan worden gevonden door 50 .101 = 5050 te doen.

Het resultaat verkregen door Gauss kan worden gecontroleerd via de formule van de som van de voorwaarden van een AP. Kijk maar: