O reeks irrationele getallen wordt gevormd door de getallen die kan niet worden weergegeven als breuken. In sommige situaties was de verzameling rationale getallen niet voldoende om problemen op te lossen, toen werd het bestaan van irrationele getallen opgemerkt, zoals de onnauwkeurige wortels, de niet-periodieke tienden,de, tussen anderen.
Lees ook: Wat is de waarde van een cijfer?
Set van irrationele getallen
Door de geschiedenis heen, in de toepassing van de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek met zijden van 1 bleek het antwoord gelijk te zijn aan de wortel van het getal 2.
Het blijkt dat dit schijnbaar eenvoudige antwoord het mogelijk maakte om een nieuwe a numerieke set. In een poging hier het antwoord op te vinden bron plein van 2, vond er een decimaal getal bekend als niet-periodieke tienden, wat is onmogelijk om als een breuk weer te geven. Dit maakte het noodzakelijk om een nieuwe verzameling te maken, de irrationale getallen, aangezien tot dat moment alle getallen rationaal waren (wat als een breuk kan worden geschreven).
De verzameling irrationele getallen bestaat uit alle getallen die Nee kan worden geschreven in de vorm van een breuk. |
Wat zijn irrationele getallen?
Om een getal als irrationeel te beschouwen, moet het de definitie respecteren, dat wil zeggen dat het niet als een breuk kan worden weergegeven. Deze nummers zijn de onnauwkeurige wortels, Bij niet-periodieke tienden en enkele speciale gevallen, zoals onder andere de constante π (lees: pi) of het getal ɸ (lees: fi).
Wortels niet exact
Wanneer het getal geen perfect vierkant is, staat het bekend als een niet-exacte wortel. Zie enkele voorbeelden:
niet-periodieke tienden
Bij het oplossen van deze wortels zal het antwoord altijd een benadering zijn, wat we niet-periodieke tienden noemen.
Merk op dat het decimale deel oneindig is en dat er geen punt is, dat wil zeggen een reeks die de veroorzaakt we kunnen het volgende getal in het decimale deel voorspellen, en daarom noemen we dit getal een decimaal niet periodiek. Niet alleen de decimalen gegenereerd door onnauwkeurige wortels, maar elk niet-periodiek decimaalteken is een irrationeel getal.
andere irrationele getallen
• Nummer π: is vrij gebruikelijk voor berekeningen met krommen zoals oppervlakte en lengte van omtrek of volume van cilinders en kegels, en is een van de bekendste irrationele getallen. Omdat het irrationeel is, gebruiken we een symbool om het weer te geven, maar π is een niet-periodieke decimaal, het is van jou waarde is gelijk aan 3,14159265358979323846... Er zijn verschillende plaatsen van dit getal bekend, maar normaal gesproken gebruiken we een benadering, met de waarde 3,14.
• Nummer ɸ: is ook bekend als gouden nummer en het is al sinds de oudheid bestudeerd en beschrijft verschillende natuurlijke fenomenen, zoals de reproductie van konijnenpopulaties. Er is ook een rapport over het gebruik van deze verhouding in artistieke werken. Het is ook een irrationeel getal en daarom wordt het weergegeven door het symbool ɸ, waarvan de waarde is: 1.61803398875...
• Euler-constante: wordt gebruikt voor verschijnselen waarbij financiële wiskunde, en op het gebied van onder meer biologie, astronomie. Het is ook een irrationeel getal en wordt daarom weergegeven door het symbool en, met een waarde van: 2.718281828459045235360…
Zie ook: Priemgetallen - natuurlijk getal dat heeft slechts twee verdelers
rationaal en irrationeel getal
Het blijkt dat elk getal als rationeel of irrationeel kan worden geclassificeerd. Direct, O rationaal getal is elk getal dat als een breuk kan worden geschreven. Exacte decimalen, periodieke decimalen, gehele getallen zijn rationale getallen. De irrationele getallen daarentegen zijn het tegenovergestelde daarvan, dat wil zeggen dat ze niet als een breuk kunnen worden geschreven, zoals we al zeiden, het zijn niet-periodieke decimalen en niet-exacte wortels.
- Voorbeeld
De tiende 3.12121212... is periodiek, merk op dat er in het decimale deel een punt is, het getal 12, dat altijd wordt herhaald, daarom dit getal is rationeel.
De 6.1249375 tiende…. is niet-periodiek, merk op dat er geen punt in het decimale deel staat, waardoor dit getal makes irrationeel.
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Welk van de volgende getallen kan als irrationeel worden geclassificeerd?
Resolutie
alternatief C.
a) We weten dat 25 een perfect vierkant is, dat wil zeggen dat de vierkantswortel precies gelijk is aan 5, dus dit is een rationaal getal.
b) Bij het berekenen van de wortel van 81 weten we dat het resultaat 9 is, wat dat getal rationaal maakt.
c) 10 heeft geen exacte vierkantswortel, dat wil zeggen, het is een irrationeel getal, waardoor alternatief C correct is.
d) 5.1888 is een exact decimaal getal, dus het is rationaal.
e) 1.2323… is een tiende met een punt gelijk aan 23, dus het is een rationaal getal.
Vraag 2 - Over irrationele getallen, beoordeel de volgende uitspraken als waar of onwaar:
I - Elke vierkantswortel is een irrationeel getal.
II - Elke niet-periodieke decimaal is een irrationeel getal.
III - Het getal ɸ en het getal π zijn voorbeelden van irrationele getallen.
Volgens het oordeel van de zinnen is het juist te stellen dat:
a) Alleen bewering I is waar.
b) Alleen stelling II is waar.
c) Alleen beweringen II en III zijn waar.
d) Alleen beweringen I en II zijn waar.
e) Alle beweringen zijn waar.
Resolutie
alternatief C.
ik - Niet waar, omdat alleen de niet-exacte vierkantswortel een irrationeel getal is.
II - Waar. Niet-periodieke decimalen zijn irrationele getallen.
III - Dat is waar, aangezien de getallen ɸ en π niet-periodieke decimalen zijn, zijn het dus irrationele getallen.
