Waarheidstabel of waarheidstabel is een wiskundig hulpmiddel dat veel wordt gebruikt op het gebied van logisch redeneren. Het doel is om de logische geldigheid van een samengestelde propositie (argument gevormd door twee of meer eenvoudige proposities) te verifiëren.
Voorbeelden van samengestelde proposities:
- John is lang en Maria is kort.
- Peter is lang of Joana is blond.
- als Pieter is lang, dan Joan is een roodharige.
Elk van de bovenstaande samengestelde proposities wordt gevormd door twee eenvoudige proposities verbonden door de vetgedrukte verbindingswoorden. Elke eenvoudige propositie kan waar of onwaar zijn en dit zal direct de logische waarde van de samengestelde propositie impliceren. Als we de zinsnede "John is lang en Mary is klein”, zullen de mogelijke taxaties van deze verklaring zijn:
- Als Jan lang is en Maria kort, dan is de uitdrukking "Jan is lang en Maria is klein" WAAR.
- Als John lang is en Mary niet kort, is de uitdrukking "John is tall en Mary is small" ONWAAR.
- Als John niet lang is en Mary is klein, is de uitdrukking "John is lang en Mary is klein" ONWAAR.
- Als John niet lang is en Mary niet klein, is de uitdrukking "John is lang en Mary is klein" ONWAAR.
De waarheidstabel schetst dezelfde redenering (zie onderwerp Conjunctie hieronder) directer. Ook kunnen waarheidstabelregels worden toegepast. ongeacht het aantal proposities in de zin.
Hoe het werkt?
Verander eerst de stellingen van de vraag in symbolen die in de logica worden gebruikt. De lijst met universeel gebruikte symbolen is:
| Symbool | Logische bewerking | Betekenis | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| P | . | Stelling 1 | p = Jan is lang. |
| wat | . | Stelling 2 | q = Maria is kort. |
| ~ | Ontkenning | Nee | Als John lang is, "~p" het is nep. |
| ^ | Conjunctie | en | P^wat = John is lang en Mary is klein. |
| v | disjunctie | of | Pvq = Jan is lang of Maria is klein. |
| → | Voorwaardelijk | als dan | P→wat = Als Jan lang is, dan is Maria klein. |
| ↔ | biconditioneel | als en alleen als | P↔q = Jan is lang dan en slechts dan als Maria klein is. |
Vervolgens wordt een tabel samengesteld met alle waarderingsmogelijkheden van een samengestelde propositie, waarbij de uitspraken worden vervangen door symbolen. Het is de moeite waard om te verduidelijken dat in gevallen waarin er meer dan twee proposities zijn, deze kunnen worden gesymboliseerd door de letters r, zo, enzovoorts.
Ten slotte wordt de logische bewerking toegepast die wordt gedefinieerd door de getoonde connector. Zoals hierboven vermeld, kunnen deze bewerkingen zijn: negatie, conjunctie, disjunctie, voorwaardelijk en biconditioneel.
Ontkenning
Ontkenning wordt gesymboliseerd door ~. De logische bewerking van ontkenning is de eenvoudigste en vereist vaak niet het gebruik van de waarheidstabel. Hetzelfde voorbeeld volgen, als John lang is (p), zeggend dat John niet lang is (~p), is dat ONWAAR, en vice versa.
Conjunctie
De conjunctie wordt gesymboliseerd door ^. Het voorbeeld "John is lang en Mary is klein" wordt gesymboliseerd door "p^q" en de waarheidstabel zal zijn:
De conjunctie suggereert een idee van accumulatie, dus als een van de eenvoudige proposities onwaar is, is het onmogelijk dat de samengestelde propositie waar is.
Conclusie: de conjunctieve samengestelde proposities (met de connective en) zal alleen waar zijn als alle elementen waar zijn.
Voorbeeld:
- Paulo, Renato en Túlio zijn aardig en Carolina is grappig. - Als Paulo, Renato of Túlio niet aardig zijn of Carolina niet grappig is, is de stelling ONWAAR. Het is nodig dat alle de informatie is waar voor de samengestelde propositie om WAAR te zijn.
disjunctie
De disjunctie wordt gesymboliseerd door v. De verbinding van het bovenstaande voorbeeld wijzigen in of we zullen hebben "John is lang of Mary is klein". In dit geval wordt de zin gesymboliseerd door "pvq" en de waarheidstabel zal zijn:
De disjunctie impliceert een idee van afwisseling, daarom is het voldoende dat een van de eenvoudige proposities waar is, zodat de samengestelde ook waar is.
Conclusie: de disjunctieve samengestelde proposities (die de connective. bevatten of) zal alleen onwaar zijn als alle elementen onwaar zijn.
Voorbeeld:
- Mijn mama, papa of oom zal me een cadeautje geven. - Om de verklaring WAAR te laten zijn, is het voldoende dat slechts één van de moeder, vader of oom het geschenk geeft. Het voorstel zal alleen ONWAAR zijn als geen van hen het geeft.
Voorwaardelijk
De voorwaardelijke wordt gesymboliseerd door →. Het wordt uitgedrukt door de connectieven als en dan, die de eenvoudige proposities in een oorzakelijk verband met elkaar verbinden. Het voorbeeld "Als Paulo uit Rio de Janeiro komt, dan is hij Braziliaans" wordt "p→q" en de waarheidstabel zal zijn:
Conditionals hebben een antecedent propositie en een consequente, gescheiden door het verbindende dan. Bij de analyse van conditionals is het noodzakelijk om te evalueren in welke gevallen de propositie het is misschien mogelijk, rekening houdend met de relatie van implicatie tussen het antecedent en de consequent.
Conclusie: Voorwaardelijke samengestelde proposities (met de connectieven als en dan) zal alleen onwaar zijn als de eerste propositie waar is en de tweede onwaar.
Voorbeeld:
- Als Paulo uit Rio komt, dan is hij Braziliaan. - Om deze stelling als WAAR te beschouwen, is het noodzakelijk om de gevallen te evalueren waarin het MOGELIJK is. Volgens de bovenstaande waarheidstabel hebben we:
- Paulo komt uit Rio / Paulo is Braziliaans = MOGELIJK
- Paulo komt uit Rio de Janeiro / Paulo is niet Braziliaans = ONMOGELIJK
- Paulo komt niet uit Rio / Paulo is Braziliaans = MOGELIJK
- Paulo is geen carioca / Paulo is niet Braziliaans = MOGELIJK
biconditioneel
Het biconditionele wordt gesymboliseerd door ↔. Het wordt gelezen door de connectieven als en alleen als, die de eenvoudige proposities in een equivalentierelatie met elkaar verbinden. Het voorbeeld "Jan is blij als en alleen als Maria lacht." wordt "p↔q" en de waarheidstabel zal zijn:
Biconditionals suggereren een idee van onderlinge afhankelijkheid. Zoals de naam laat zien, is de biconditional samengesteld uit twee conditionals: een die begint vanaf P voor wat (P→q) en een andere in de tegenovergestelde richting (q→p).
Conclusie: Bij bivoorwaardelijke samengestelde proposities (met de connectives als en alleen als) zal alleen waar zijn als alle proposities waar zijn, of alle proposities onwaar.
Voorbeeld:
- João is blij als en alleen als Maria lacht. - Betekent dat:
- Als Jan blij is, lacht Maria en als Maria lacht, is Jan blij = ECHT
- Als Jan niet blij is, lacht Maria niet en als Maria niet lacht, is Jan niet blij = ECHT
- Als João gelukkig is, lacht Maria niet = FALSE
- Als João niet blij is, lacht Maria = FALSE
Overzicht
Het is gebruikelijk voor waarheidstabelgeleerden om de conclusies van elk van de logische bewerkingen te onthouden. Houd altijd rekening met het volgende om tijd te besparen bij het oplossen van problemen:
- Conjunctieve proposities: Ze zullen alleen waar zijn als alle elementen waar zijn.
- Disjunctieve proposities: Het zal alleen onwaar zijn als alle elementen onwaar zijn.
- Voorwaardelijke stellingen: Ze zullen alleen onwaar zijn als de eerste propositie waar is en de tweede onwaar.
- Bivoorwaardelijke stellingen: Het zal alleen waar zijn als alle elementen waar zijn, of alle elementen onwaar.
