Wat zijn complexe getallen?

Tot het midden van de 16e eeuw waren vergelijkingen zoals x² – 6x + 10 = 0 werden simpelweg als “geen oplossing” beschouwd. Dit was omdat, volgens de formule van Bhaskara, bij het oplossen van deze vergelijking het gevonden resultaat zou zijn:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Het probleem werd gevonden in √– 4, dat geen oplossing heeft binnen de verzameling reële getallen, dat wil zeggen, nee er is een reëel getal dat, vermenigvuldigd met zichzelf, √– 4 oplevert, aangezien 2·2 = 4 en (–2)(–2) = 4.

In 1572 was Rafael Bombelli bezig met het oplossen van de vergelijking x³ – 15x – 4 = 0 met de formule van Cardano. Door deze formule wordt geconcludeerd dat deze vergelijking geen echte wortels heeft, omdat het uiteindelijk nodig is om √-121 te berekenen. Na een paar pogingen is het echter mogelijk om te vinden dat 4³ – 15,4 – 4 = 0 en daarom is x = 4 een wortel van deze vergelijking.

Gezien het bestaan ​​van echte wortels die niet worden uitgedrukt door Cardano's formule, had Bombelli het idee om te veronderstellen dat √– 121 zou resulteren in √(– 11·11) = 11·√– 1 en dit zou een “onwerkelijke” wortel voor de vergelijking kunnen zijn bestudeerd. Dus √– 121 zou deel uitmaken van een nieuw type getal dat de andere niet-gevonden wortels van deze vergelijking vormt. Dus de vergelijking x

³ – 15x – 4 = 0, dat drie wortels heeft, zou x = 4 hebben als de echte wortel en twee andere wortels die bij dit nieuwe type getal horen.

Aan het einde van de 18e eeuw noemde Gauss deze getallen als complexe getallen. Op dat moment namen complexe getallen al de vorm aan een + bi, met ik = √– 1. Verder, De en B ze werden al beschouwd als punten van een Cartesiaans vlak, bekend als het Argand-Gauss-vlak. Het complexe getal Z = a + bi had dus als geometrische voorstelling een punt P (a, b) van het Cartesiaanse vlak.

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Daarom is de uitdrukking "complexe getallen” begon te worden gebruikt met betrekking tot de numerieke set waarvan de vertegenwoordigers zijn: Z = a + bi, met i = √– 1 en met De en B behorend tot de verzameling reële getallen. Deze representatie heet de algebraïsche vorm van complex getal Z.

Omdat complexe getallen worden gevormd door twee reële getallen en een ervan wordt vermenigvuldigd met √– 1, deze reële getallen hebben een speciale naam gekregen. Gezien het complexe getal Z = a + bi, is a het "reële deel van Z" en b is het "denkbeeldige deel van Z". Wiskundig kunnen we respectievelijk schrijven: Re (Z) = a en Im (Z) = b.

Het idee van de modulus van een complex getal wordt analoog uitgekristalliseerd naar het idee van de modulus van een reëel getal. Als we het punt P(a, b) beschouwen als een geometrische representatie van het complexe getal Z = a + bi, wordt de afstand tussen het punt P en het punt (0,0) gegeven door:

|Z| = √(De² + b²)

Een tweede manier om complexe getallen weer te geven is via de Polaire of trigonometrische vorm. Deze vorm gebruikt de modulus van een complex getal in zijn samenstelling. Het complexe getal Z, algebraïsch Z = a + bi, kan met de polaire vorm worden weergegeven door:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

Het is interessant om op te merken dat het Cartesiaanse vlak wordt gedefinieerd door twee orthogonale lijnen, bekend als de x- en y-assen. We weten dat reële getallen kunnen worden weergegeven door een lijn, waarop alle rationale getallen worden geplaatst. De overige ruimtes worden gevuld met de irrationele getallen. Terwijl de echte getallen allemaal op de regel staan ​​die bekend staat als X-as van het Cartesiaanse vlak zouden alle andere punten die tot dat vlak behoren het verschil zijn tussen complexe getallen en reële getallen. De verzameling reële getallen bevindt zich dus in de verzameling complexe getallen.

Door Luiz Paulo Moreira
Afgestudeerd in wiskunde

Wil je naar deze tekst verwijzen in een school- of academisch werk? Kijken:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Wat zijn complexe getallen?"; Brazilië School. Beschikbaar in: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Betreden op 27 juni 2021.