Matrix: wat is het, typen, bewerkingen, voorbeelden

DE hoofdkwartier het wordt vaak gebruikt voor het organiseren van tabelgegevens om het oplossen van problemen te vergemakkelijken. Matrixinformatie, al dan niet numeriek, is netjes gerangschikt in rijen en kolommen.

De reeks matrices uitgerust met de operaties van toevoeging, aftrekken en vermenigvuldiging en kenmerken, als een neutraal en invers element, vormen een wiskundige structuur die maakt de toepassing ervan op verschillende gebieden mogelijk van dit grote kennisgebied.

Zie ook: Relatie tussen matrix en lineaire systemen

Matrixweergave

Alvorens met de studies over matrices te beginnen, is het noodzakelijk enkele notaties vast te stellen met betrekking tot hun representaties. Bij matrices worden altijd weergegeven met hoofdletters. (A, B, C…), die vergezeld gaan van indexen, waarin de het eerste cijfer geeft het aantal rijen aan en het tweede het aantal kolommen.

DE aantal regels (horizontale rijen) en kolommen (verticale rijen) van een matrix bepaalt zijn bestellen. De matrix A heeft orde m bij n. De informatie in een array heet

elementen en zijn gerangschikt tussen haakjes, vierkante haken of twee verticale balken, zie de voorbeelden:

De matrix A heeft twee rijen en drie kolommen, dus de volgorde is twee bij drie → A_2x3.

Matrix B heeft één rij en vier kolommen, dus de volgorde is één voor vier, dus het heet lijnmatrix → B_1x4.

Matrix C heeft drie rijen en één kolom, en zo heet het kolommatrix en de volgorde is drie voor één → C_3x1.

We kunnen de elementen van een array generiek weergeven, dat wil zeggen, we kunnen dit element schrijven met een wiskundige representatie. Ogeneriek element wordt weergegeven met kleine letters (a, b, c...), en, zoals bij de weergave van arrays, heeft het ook een index die de locatie aangeeft. Het eerste cijfer geeft de rij aan waarin het element zich bevindt en het tweede cijfer geeft de kolom aan waarin het zich bevindt.

Beschouw de volgende matrix A, we zullen de elementen ervan opsommen.

Als we het eerste element observeren dat zich in de eerste rij en eerste kolom bevindt, dat wil zeggen in rij één en kolom één, hebben we het nummer 4. Om het schrijven gemakkelijker te maken, zullen we het aanduiden met:

De₁₁ → regel één element, kolom één

We hebben dus de volgende elementen van matrix A_2x3:

De₁₁ = 4

De₁₂ =16

De₁₃ = 25

De₂₁ = 81

De₂₂ = 100

De₂₃ = 9

Over het algemeen kunnen we een array schrijven als een functie van zijn generieke elementen, dit is de generieke matrix.

Een matrix van m rij en n kolommen wordt weergegeven door:

• Voorbeeld

Bepaal de matrix A = [a_ij ]_2x2, die de volgende opleidingswet heeft om:_ij = j² – 2i. Uit de verklaringsgegevens hebben we dat de matrix A van de orde van twee bij twee is, dat wil zeggen, het heeft twee regels en twee kolommen, dus:

Bovendien werd de matrixvormingswet gegeven, dat wil zeggen dat elk element tevreden is met de relatie tot_ij = j² – 2i. Als we de waarden van i en j in de formule vervangen, hebben we:

De₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

De₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

De₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

De₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Daarom is matrix A:

Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)

Matrixtypen

Sommige matrices verdienen speciale aandacht, zie nu deze soorten arrays met voorbeelden.

• vierkante matrix

Een matrix is ​​vierkant wanneer de aantal rijen is gelijk aan het aantal kolommen. We stellen de matrix met n rijen en n kolommen voor met A_Nee (lees: vierkante matrix van orde n).

In vierkante matrices hebben we twee zeer belangrijke elementen, de diagonalen: hoofd- en secundair. De hoofddiagonaal wordt gevormd door elementen die gelijke indices hebben, dat wil zeggen, het is elk element a_ij met ik = j. De secundaire diagonaal wordt gevormd door elementen a_ij met i + j = n +1, waarbij n matrixvolgorde is.

• identiteitsmatrix

De identiteitsmatrix is ​​een vierkante matrix die: alleuelementen van de hoofddiagonaal gelijk aan 1 en de andere elementen gelijk aan 0, de vormingswet is:

We duiden deze matrix aan met I, waarbij n de orde van de vierkante matrix is, zie enkele voorbeelden:

• eenheidsmatrix

Het is een vierkante matrix van orde één, dat wil zeggen, het heeft een rij en een kolom en daarom slechts één element.

EEN = [-1]_1x1, B = I₁ = (1)_1x1 en C = || 5||_1x1

Dit zijn voorbeelden van eenheidsmatrices, met de nadruk op matrix B, die a. is eenheid identiteitsmatrix.

• nulmatrix

Een array heet nul als alle elementen gelijk zijn aan nul. We stellen een nulmatrix voor van orde m bij n door O_mxn.

De matrix O is nul van orde 4.

• tegenovergestelde matrix

Beschouw twee matrices van gelijke orde: A = [a_ij]_mxn en B = [b_ij]_mxn. Deze matrices worden tegengesteld genoemd als, en alleen als, de_ij = -b_ij. Dus, de corresponderende elementen moeten zijn tegengestelde nummers.

We kunnen de matrix B = -A voorstellen.

• getransponeerde matrix

Twee matrices A = [a_ij]_mxn en B = [b_ij]_nxm zij zijn getransponeerd als, en alleen als, de_ij = b_ji , dat wil zeggen, gegeven een matrix A, om de transponering ervan te vinden, neem gewoon de lijnen als kolommen.

De transponering van matrix A wordt aangeduid met A^T. Zie het voorbeeld:

Bekijk meer: Inverse matrix: wat is het en hoe te verifiëren?

Matrixbewerkingen

Generieke weergave van een n x m matrix.

De verzameling matrices heeft de operaties van azeer goed gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging, dat wil zeggen, wanneer we twee of meer matrices bedienen, behoort het resultaat van de bewerking nog steeds tot de verzameling matrices. Maar hoe zit het met de aftrekbewerking? We begrijpen deze bewerking als het omgekeerde van optellen (tegengestelde matrix), die ook heel goed gedefinieerd is.

Laten we, voordat we de bewerkingen definiëren, de ideeën begrijpen van: corresponderend element en gelijkheid van matrices. Overeenkomstige elementen zijn elementen die dezelfde positie in verschillende matrices innemen, dat wil zeggen dat ze zich in dezelfde rij en kolom bevinden. Het is duidelijk dat de arrays van dezelfde volgorde moeten zijn om overeenkomende elementen te laten bestaan. Kijken:

Elementen 14 en -14 zijn corresponderende elementen van tegengestelde matrices A en B, omdat ze dezelfde positie innemen (dezelfde rij en kolom).

Van twee matrices wordt gezegd dat ze gelijk zijn als en slechts dan als de corresponderende elementen gelijk zijn. Dus, gegeven de matrices A = [a_ij]_mxn en B = [b_ij]_mxn, deze zullen hetzelfde zijn als, en alleen als, de_ij = b_ij voor elke i j.

• Voorbeeld

Wetende dat matrices A en B gelijk zijn, bepaal je de waarden van x en t.

Aangezien matrices A en B gelijk zijn, moeten de overeenkomstige elementen gelijk zijn, dus:

x = -1 en t = 1

• Optellen en aftrekken van matrices

de operaties van optellen en aftrekken tussen matrices ze zijn vrij intuïtief, maar eerst moet aan een voorwaarde worden voldaan. Om deze bewerkingen uit te voeren, is het eerst nodig om te controleren of de array-orders zijn gelijk.

Zodra deze voorwaarde is geverifieerd, vindt het optellen en aftrekken van de matrix plaats door de overeenkomstige elementen van de matrices op te tellen of af te trekken. Beschouw de matrices A = [a_ij]_mxn en B = [b_ij]_mxn, dan:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Voorbeeld

Beschouw onderstaande matrices A en B, bepaal A + B en A – B.

Lees ook: Bewerkingen op hele getallen

• Vermenigvuldiging van een reëel getal met matrix

De vermenigvuldiging van een reëel getal in een matrix (ook wel matrixvermenigvuldiging genoemd) met een scalaire waarde wordt gegeven door elk element van de matrix te vermenigvuldigen met de scalaire waarde.

Laat A = [a_ij]_mxn een matrix en t een reëel getal, dus:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Zie het voorbeeld:

• Matrix vermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van matrices is niet zo triviaal als het optellen en aftrekken ervan. Alvorens de vermenigvuldiging uit te voeren, moet ook aan een voorwaarde zijn voldaan met betrekking tot de volgorde van de matrices. Overweeg matrices A_mxn en B_nxr.

Om de vermenigvuldiging uit te voeren, de aantal kolommen in de eerste matrix moet gelijk zijn aan het aantal rijen in de tweede. De productmatrix (die afkomstig is van vermenigvuldiging) heeft een volgorde die wordt gegeven door het aantal rijen in de eerste en het aantal kolommen in de tweede.

Om de vermenigvuldiging tussen matrices A en B uit te voeren, moeten we elk van de rijen als volgt met alle kolommen vermenigvuldigen: het eerste element van A wordt vermenigvuldigd met het eerste element van B en vervolgens opgeteld bij het tweede element van A en vermenigvuldigd met het tweede element van B, en dus achtereenvolgens. Zie het voorbeeld:

Lees ook: Theorema van Laplace: weet hoe en wanneer te gebruiken

opgeloste oefeningen

vraag 1 – (U. EN. Londrina – PR) Laat de matrices A en B respectievelijk 3 x 4 en p x q zijn, en als de matrix A · B de orde 3 x 5 heeft, dan is het waar dat:

a) p = 5 en q = 5

b) p = 4 en q = 5

c) p = 3 en q = 5

d) p = 3 en q = 4

e) p = 3 en q = 3

Oplossing

We hebben de verklaring dat:

DE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Uit de voorwaarde om twee matrices te vermenigvuldigen, hebben we dat het product alleen bestaat als het aantal kolommen in de eerste gelijk is aan het aantal rijen in de tweede, dus p = 4. En we weten ook dat de productmatrix wordt gegeven door het aantal rijen in de eerste met het aantal kolommen in de tweede, dus q = 5.

Daarom is p = 4 en q = 5.

A: Alternatief b

Vraag 2 - (Vunesp) Bepaal de waarden van x, y en z, op de volgende gelijkheid, met 2 x 2 reële matrices.

Oplossing

Laten we de bewerkingen tussen de arrays uitvoeren en vervolgens de gelijkheid ertussen.

Om de waarde van x, y en z te bepalen, lossen we het lineaire systeem op. Laten we eerst de vergelijkingen (1) en (2) toevoegen.

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

Als we de waarde van x in vergelijking (3) substitueren, hebben we:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

En tot slot, als we de waarden van x en z in vergelijking (1) of (2) vervangen, hebben we:

x + y - z = 0

2 +j – 2 = 0

y=0

Daarom wordt de oplossing voor het probleem gegeven door S = {(2, 0, 2)}.

door Robson Luiz
Wiskundeleraar