DE breuk genereren en de fractionele representatie van een periodieke tiende. Deze representatie is een belangrijke strategie bij het oplossen van problemen over elementaire wiskundige bewerkingen waarbij periodieke decimalen betrokken zijn. Om het te vinden, kunnen we zowel vergelijkingstechnieken als een praktische methode gebruiken.
Lees ook: Hoe operaties met breuken op te lossen?
Wat is een periodieke tiende?
Voordat u begrijpt wat een beschrijvende breuk is, is het essentieel om te begrijpen wat een periodiek decimaalteken is. Er zijn twee mogelijke gevallen van: periodieke tienden: de enkelvoudige periodieke decimaal en de samengestelde periodieke decimaal. Een periodieke tiende is a decimaal getal met een oneindig en periodiek decimaal deel.
eenvoudige periodieke tiende
De eenvoudige periodieke decimaal bestaat uit een geheel getal en een decimaal deel. DE decimale deel is de herhaling van je punt, zoals weergegeven in de onderstaande voorbeelden.
Voorbeelden:
a) 1.2222...
hele deel → 1
decimaal deel → 0,2222…
Tijdsverloop → 2
b) 3.252525...
hele deel → 3
decimaal deel → 0,252525…
Tijdsverloop → 25
c) 0,8888...
hele deel → 0
decimaal deel → 0,8888
Tijdsverloop → 8
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
samengestelde periodieke tienden
Een samengesteld periodiek decimaal is een decimaal met een geheel getal, een decimaal deel en, in zijn decimale deel, een niet-periodiek deel - bekend als de antiperiode - en de periode.
Voorbeelden:
a) 2.0666...
hele deel → 2
decimaal deel→ 0,0666…
Antiperiode → 0
Tijdsverloop → 6
b) 13.518888...
hele deel → 13
decimaal deel → 0,51888…
Antiperiode → 51
Tijdsverloop → 8
c) 0,109090909...
hele deel → 0
decimaal deel → 0,10909090
Antiperiode → 1
Tijdsverloop → 09
Lees ook: Wat zijn equivalente breuken?
Wat is generatieve breuk?
breuk genereren is de fractionele weergave van het periodieke decimaalteken, zij het eenvoudig, zij het gecomponeerd. Zoals de naam al doet vermoeden, genereert de genererende fractie de tiende wanneer: we delen de teller door de noemer van de fractionele weergave.
Voorbeelden:
Stap voor stap om de genererende breuk te berekenen
Laten we stap voor stap kijken naar het eenvoudige periodieke decimaalteken en het samengestelde periodieke decimaalteken.
eenvoudige periodieke tienden
Om de genererende breuk van een eenvoudig periodiek decimaalteken te vinden, is het noodzakelijk om een paar stappen te volgen, namelijk:
1e stap: gelijk aan de periodieke decimaal tot x.
2e stap: volgens het aantal cijfers in de periode, vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met:
10 → als er 1 cijfer in de punt zit;
100 → als er 2 cijfers in de punt zitten;
1000 → als er 3 cijfers in de punt zitten; enzovoorts.
3e stap: bereken het verschil tussen de vergelijking gevonden in stap 2 en de vergelijking gelijk aan x in stap 1, en los de vergelijking op.
voorbeeld 1:
Vind de genererende breuk van de 1.444 decimale ...
x = 1.4444…
De punt is 4 en aangezien er maar één cijfer in de punt zit, vermenigvuldigen we het met 10 van beide zijden:
10x = 1.444… · 10
10x = 14.444...
10x - x = 14,444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Dus de genererende fractie van de tiende is:
Voorbeeld 2:
Zoek de genererende breuk van de periodieke decimaal 3.252525...
x = 3.252525…
De periode is 25 en omdat het 2 cijfers heeft, vermenigvuldigen we het met 100.
100x = 3,252525… · 100
100x = 325.252525...
Bereken nu de verschil tussen 100x en x:
100x - x = 325,2525... - 3,252525...
99x = 322
x = 322/99
Dus de genererende fractie van de tiende is:
samengestelde periodieke tienden
Wat verandert er als de periodieke decimaal is samengesteld? we hebben een nieuwe stap toegevoegd in de resolutie om de genererende breuk te vinden.
1e stap: gelijk aan de periodieke decimaal tot x.
2e stap: transformeer het samengestelde periodieke decimaalteken in een eenvoudig periodiek decimaalteken door te vermenigvuldigen met:
10, als er 1 cijfer in de antiperiode zit;
100 als er 2 cijfers in de antiperiode staan; enzovoorts.
3e stap: volgens het aantal cijfers in de periode, vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met:
10 → als er 1 cijfer in de punt zit;
100 → als er 2 cijfers in de punt zitten;
1000 → als er 3 cijfers in de punt zitten; enzovoorts.
4e stap: bereken het verschil tussen de vergelijking gevonden in stap 3 en stap 2, en los de vergelijking op.
Voorbeeld:
Vind de genererende fractie van de 5.0323232 tiende...
x = 5,0323232...
Merk op dat er 1 cijfer in de antiperiode is, dat is 0. We vermenigvuldigen het met 10 om er een periodiek decimaal van te maken.
10x = 5,0323232... · 10
10x = 50,332232...
Laten we nu de periode identificeren, namelijk 32. Omdat er 2 cijfers zijn, vermenigvuldigen we de tiende met 100.
1000x = 5032.2323232...
Nu berekenen we het verschil tussen 1000x en 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.2323232...
990x = 4982
x=4982/990
De genererende breuk is dus:
Zie ook: Hoe wordt een gemengd getal gevormd?
praktische methode
We gebruiken de praktische methode om het proces van het vinden van de genererende breuk van het periodieke decimaal vergemakkelijken. Laten we naar twee verschillende gevallen kijken: wanneer het periodieke decimaalteken eenvoudig is en wanneer het samengesteld is.
Praktische methode voor eenvoudige periodieke tienden
In een eenvoudig periodiek decimaalteken is de praktische methode om:
1e stap: schrijf de som tussen het gehele deel en het decimale deel van het periodieke decimaal;
2e stap: transformeer het decimale deel als volgt in een breuk: de teller is altijd de punt en de noemer is:
9 → als er 1 cijfer in de punt zit;
99 → als er 2 cijfers in de punt zitten;
999 → als er 3 cijfers in de punt zitten; enzovoorts.
3e stap: Som het gehele deel op met de gevonden breuk.
Voorbeeld:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Door 0,888... om te zetten in een breuk, hebben we de teller gelijk aan 8, aangezien 8 de periode van de breuk is, en de noemer gelijk aan 9, aangezien er maar 1 cijfer in de periode zit, dus:
Praktische methode voor periodieke samengestelde tienden
Voorbeeld:
We zullen de genererende fractie van de 4.1252525 tiende vinden...
Eerst identificeren we het hele deel, de antiperiode en de periode van de samengestelde tiende:
Hele deel: 4
Antiperiode: 1
Periode: 25
De teller van de samengestelde tiende is het verschil tussen het getal gevormd door de cijfers van het hele deel, antiperiode en periode, en het getal gevormd door het hele deel en antiperiode.
4125 – 41 =4084
In de noemer voegen we voor elk getal in de periode a. toe 9 en dan, voor elk nummer in het niet-periodieke deel, a 0.
de periode is 25, dus we voegen toe 99; de antiperíalles is 1, dus we voegen toe 0, dan de noemer é990.
De genererende fractie van de tiende is:
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - Bij het uitvoeren van de deling tussen twee natuurlijke getallen, werd het periodieke decimaal 1.353535 gevonden... De genererende breuk van dit decimaalteken is:
Resolutie
alternatief C.
We doen x = 1.353535…
Vermenigvuldigen met 100 aan beide kanten, moeten we:
100x = 135.3535…
Laten we nu het verschil tussen 100x en x berekenen.
Vraag 2 - Als x = 0,151515… en y = 0,242424…, is dan de deling y: x gelijk aan?
Resolutie
Alternatief A.
Het vinden van de genererende breuken met de praktische methode, moeten we:
x = 0,151515…
De tiende heeft een periode gelijk aan 15, dus de teller is 15 en de noemer is 99.
Met dezelfde redenering voor y = 0,242424... is de teller 24 en de noemer 99.
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
