De studie over numerieke sets vormt een van de belangrijkste gebieden van de wiskunde, omdat ze erg belangrijk zijn voor de theoretische ontwikkeling van het gebied en verschillende praktische toepassingen hebben. Numerieke sets omvatten bij het bestuderen:
- natuurlijke cijfers;
- gehele getallen;
- rationele nummers;
- irrationele nummers;
- echte getallen; en
- complexe getallen.
Lees verder: Priemgetallen - getallen die alleen 1 hebben en zichzelf als delers
Set van natuurlijke getallen
De ontwikkeling van de eerste beschavingen bracht de verbetering van landbouw en handel met zich mee en bijgevolg de getallen gebruiken om hoeveelheden weer te geven. De eerste set kwam vanzelf, vandaar de naam. De natuurlijke benoemde set wordt gebruikt om hoeveelheden weer te geven, het wordt aangeduid met de symbool en is in volgorde geschreven. Kijken:
O reeks getallen natuuris é oneindig en gesloten voor bewerkingen van toevoeging en vermenigvuldiging, dat wil zeggen, wanneer we twee natuurlijke getallen optellen of vermenigvuldigen, is het antwoord nog steeds natuurlijk. Echter, voor aftrekken en
divisie, de set is niet gesloten. Kijken:5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Merk op dat de nummers –1 en 0,5 ze behoren niet tot de verzameling natuurlijke getallen, en dit is de rechtvaardiging voor het creëren en bestuderen van nieuwe reeksen getallen.
Ook, door een asterisk (*) in het symbool van de natuurlijke verzameling te plaatsen, moeten we het getal nul uit de lijst verwijderen, zie:
hele getallen set
De hele getallenreeks kwam met de nodig hebt om de operatie uit te voeren van aftrekken Geen beperkingen. Zoals we hebben gezien, behoort het antwoord niet tot de groep natuurtalen wanneer een kleiner getal wordt afgetrokken van een groter getal.
De verzameling gehele getallen wordt ook weergegeven door een oneindige numerieke reeks en wordt aangeduid met de symbool.
Net als in de verzameling natuurlijke getallen, wordt door het plaatsen van een asterisk in het symbool ℤ het element nul uit de verzameling verwijderd, als volgt:
Het (–) symbool dat bij een getal hoort, geeft aan dat het symmetrisch is, dus de symmetrie van het getal 4 is het getal -4. Merk ook op dat de verzameling natuurlijke getallen deel uitmaakt van de verzameling gehele getallen, dat wil zeggen dat de verzameling natuurlijke getallen een deelverzameling is van de verzameling gehele getallen.
ℕ ⸦ ℤ
Lees ook: Bewerkingen met gehele getallen - wat zijn ze en hoe te berekenen?
reeks rationale getallen
O reeks rationale getallen é vertegenwoordigd door het symbool ℚ en wordt niet weergegeven door een numerieke reeks. Deze set bestaat uit alle getallen die als een breuk kunnen worden weergegeven. We stellen de elementen ervan als volgt voor:
We weten dat elk geheel getal kan worden weergegeven door a fractie, dat wil zeggen, de verzameling gehele getallen is vervat in die van rationale getallen, dus, de verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de rationale getallen.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Getallen die oneindige representatie hebben, zoals periodieke tienden, hebben ook representatie in de vorm van een breuk, dus ze zijn ook rationeel.
Lees ook: Bewerkingen met breuken - stap voor stap hoe ze op te lossen
Set van irrationele getallen
Zoals we hebben gezien, is een getal rationaal als het als een breuk kan worden geschreven. Er is ook gezegd dat oneindige en periodieke getallen rationeel zijn, maar er zijn enkele getallen die: kan niet worden geschreven in de vorm van een breuk en die daarom niet tot de verzameling rationale getallen behoren.
Deze niet-rationele getallen worden genoemd irrationeel en de belangrijkste kenmerken zijn de oneindigheid van het decimale deel en niet-frequentie, dat wil zeggen, er wordt geen getal in het decimale gedeelte herhaald. Bekijk enkele voorbeelden van irrationele nummers.
- voorbeeld 1
De vierkantswortels van getallen die geen perfecte vierkanten zijn.
- Voorbeeld 2
Constanten die om speciale redenen komen, zoals goudgetal, Eulergetal of Pi.
Set van reële getallen
O set van reële getallen wordt weergegeven door het symbool ℝ en wordt gevormd door de eenheidvan de verzameling rationale getallen met de verzameling irrationele getallen. Onthoud dat de verzameling van rationale getallen de vereniging is van natuurlijke en gehele verzamelingen.
Wanneer we de reële getallen op een lijn rangschikken, hebben we dat het getal nul de oorsprong van de lijn is, rechts van nul de positieve getallen en links de negatieve getallen.
Omdat deze as reëel is, kunnen we zeggen dat er tussen twee getallen oneindige getallen zijn en ook dat deze as oneindig is, zowel in de positieve richting wanneer binnen negatieve richting.
Reeks complexe getallen
O complexe getallenreeks het is de laatste en het ontstond om dezelfde reden als de verzameling gehele getallen, dat wil zeggen, het is een operatie waarvan de ontwikkeling alleen met de verzameling reële getallen niet mogelijk is.
Als je de volgende vergelijking oplost, zie je dat deze geen oplossing heeft, alleen de reële getallen kent.
X2 + 1 = 0
X2 = –1
Merk op dat we een getal moeten vinden dat wanneer verheffendO kwadraat, resulteert in een negatief getal. We weten dat elk getal in het kwadraat is altijd positiefdaarom heeft deze berekening geen echte oplossing.
Zo ontstonden de complexe getallen, waarin we a. hebben denkbeeldig getal aangeduid met ik, die de volgende waarde heeft:
Realiseer je dus dat de vergelijking dat voorheen geen oplossing had, heeft het nu. Uitchecken:
Lees verder: Eigenschappen met complexe getallen
werkelijke intervallen
In sommige gevallen zullen we niet elke reële as gebruiken, dat wil zeggen, we zullen delen ervan gebruiken die zullen worden genoemd pauzes. Deze intervallen zijn: deelverzamelingen van de verzameling reële getallen. Vervolgens zullen we enkele notaties voor deze subsets maken.
Gesloten bereik - zonder de extremen mee te nemen
Een interval is gesloten wanneer het heeft zijn twee uitersten, dat wil zeggen, het minimum en het maximum, en in dit geval de uitersten extreme horen niet in het assortiment. We zullen dit aanduiden met een open bol. Kijken:
In rood zijn de getallen die bij dit bereik horen, dat wil zeggen, het zijn getallen groter dan a en kleiner dan b. Algebraïsch schrijven we zo'n interval als volgt:
de < X
Waarbij het getal x alle reële getallen zijn die in dit bereik liggen. We kunnen het ook symbolisch voorstellen. Kijken:
]De; B[ of (De; B)
Gesloten bereik - inclusief extremen
Laten we nu gesloten ballen gebruiken om dat weer te geven de uitersten behoren tot het bereik.
Dus we verzamelen reële getallen tussen a en b, inclusief hen. Algebraïsch drukken we zo'n interval uit door:
de Xb
Met behulp van symbolische notatie hebben we:
[De; B]
Gesloten bereik - inclusief een van de uitersten
We hebben nog steeds te maken met gesloten intervallen, we hebben nu het geval waarin: slechts één van de uitersten is inbegrepen. Daarom zal een van de knikkers sluiten, wat aangeeft dat het nummer tot het bereik behoort, en de andere niet, wat aangeeft dat het nummer niet tot dat bereik behoort.
Algebraïsch stellen we dit bereik als volgt voor:
de X
Symbolisch hebben we:
[De; B[ of [De; B)
Open bereik - geen einde inbegrepen
Een bereik wordt geopend wanneer: heeft geen maximum of minimum element. Nu zullen we een case met een open bereik zien die alleen het maximale element heeft, dat niet in het bereik is opgenomen.
Zie dat het assortiment bestaat uit: reële getallen kleiner danB, en merk ook op dat het getal b behoort niet tot het bereik (open bal), dus algebraïsch kunnen we het interval weergeven door:
X
Symbolisch kunnen we het voorstellen door:
] – ∞; B[ of (– ∞; B)
Open bereik - inclusief het extreme
Een ander voorbeeld van een open bereik is het geval waarin het uiterste wordt meegerekend. Hier hebben we een bereik waarin het minimumelement voorkomt, zie:
Merk op dat alle reële getallen groter of gelijk zijn aan het getal a, dus we kunnen dit bereik algebraïsch schrijven door:
Xnaar
Symbolisch hebben we:
[De; +∞[ of [De; +∞)
open bereik
Een ander geval van open bereik wordt gevormd door getallen groter en kleiner dan de getallen die op de echte lijn zijn vastgelegd. Kijken:
Merk op dat de reële getallen die tot dit bereik behoren de getallen zijn die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan het getal a, of de getallen die groter zijn dan het getal b, dus we moeten:
X naar ofX > b
Symbolisch hebben we:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
of
(– ∞; a] U(b; + ∞)
door Robson Luiz
Wiskundeleraar
Bron: Brazilië School - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm
