DE geometrische gemiddelde samen met het rekenkundig gemiddelde en het harmonische gemiddelde werden ontwikkeld door de Pythagoras-school. Bij statistiek het is vrij gebruikelijk om te zoeken naar representatie van een dataset door een enkele waarde voor besluitvorming. Een van de mogelijkheden voor de centrale waarde is het meetkundig gemiddelde.
Het is handig voor het representeren van een set die heeft gegevens die zich dicht bij a geometrische progressie, ook om de zijkant van te vinden plein en kubus, respectievelijk het gebied en het volume kennen. Het meetkundig gemiddelde wordt ook toegepast in situaties van accumulatie van procentuele stijging of daling. Om het geometrische gemiddelde van een set van n waarden te berekenen, berekenen we de nde wortel van het product van de elementen, dat wil zeggen, als een verzameling bijvoorbeeld drie termen heeft, vermenigvuldigen we de drie en berekenen we de derdemachtswortel van het product.
Geometrisch gemiddelde formule
Het geometrische gemiddelde wordt gebruikt om a. te vinden gemiddelde waarde tussen een set gegevens. Om het meetkundig gemiddelde te berekenen, is een verzameling met twee of meer elementen vereist. Laat A een dataset zijn A = (x1, x2, x3,... XNee), een verzameling met n elementen, wordt het meetkundig gemiddelde van deze verzameling berekend door:
Lees ook: Dispersiemaatregelen: amplitude en afwijking
Berekening van het geometrische gemiddelde
Laat A = {3,12,16,36}, wat zal het geometrische gemiddelde van deze verzameling zijn?
Resolutie:
Om het meetkundig gemiddelde te berekenen, tellen we eerst het aantal termen in de verzameling, in het geval n = 4. Dus we moeten:
Methode 1: Het uitvoeren van de vermenigvuldigingen.
Omdat we niet altijd een rekenmachine beschikbaar hebben om de vermenigvuldigingen, is het mogelijk om de berekening te maken op basis van de factorisatie van a natuurlijk nummer.
Methode 2: Factorisatie.
Met behulp van de factorisaties moeten we:
Toepassingen van geometrisch gemiddelde
Het geometrische gemiddelde kan op elke statistische dataset worden toegepast, maar is meestal werkzaam in geometrie, om zijden van prisma's en kubussen van hetzelfde volume, of vierkanten en rechthoeken van hetzelfde gebied te vergelijken. Er is ook toepassing in financiële wiskundige problemen die een geaccumuleerd percentage omvatten, dat wil zeggen, percentage onder procent. Behalve dat het het handigste middel is voor gegevens die zich gedragen als een geometrische progressie.
Niet stoppen nu... Er is meer na de reclame ;)
voorbeeld 1: Toepassing in procenten.
Een product had gedurende drie maanden opeenvolgende stijgingen, de eerste was 20%, de tweede 10% en de derde 25%. Wat was de gemiddelde procentuele stijging aan het einde van deze periode?
Resolutie
Het product kostte aanvankelijk 100%, in de eerste maand begon het 120% te kosten, wat in decimale vorm wordt geschreven als 1.2. Deze redenering zal hetzelfde zijn voor de drie verhogingen, dus we willen het geometrische gemiddelde tussen: 1.2; 1,1; en 1.25.
De stijging is gemiddeld 18,2% per maand.
Zie ook: Percentageberekening met regel van drie
Voorbeeld 2: Toepassing in de geometrie.
Wat zou de waarde van x in de afbeelding moeten zijn, wetende dat het vierkant en de rechthoek dan dezelfde oppervlakte hebben?
Resolutie:
Om de x-waarde van de zijde van het vierkant te vinden, berekenen we het geometrische gemiddelde tussen de zijden van de rechthoek.
De zijde van het vierkant is dus 12 cm.
Voorbeeld 3: Geometrische progressie.
Wat zijn de termen van P.G., wetende dat de voorloper van de centrale waarde x is, de centrale waarde 10 is en de opvolger van de centrale waarde 4x.
Resolutie:
We kennen de voorwaarden van P.G. (x, 10.4x) en we weten dat het meetkundig gemiddelde tussen de opvolger en de voorganger gelijk is aan de centrale term van de P.G., dus we moeten:
Verschil tussen meetkundig gemiddelde en rekenkundig gemiddelde
In statistieken is de manier waarop de gegevens zich gedragen erg belangrijk voor het kiezen van een enkele waarde om deze weer te geven. Daarom zijn er soorten centrale maatregelen en zijn er soorten media.
De keuze welk gemiddelde te gebruiken moet worden gemaakt rekening houdend met de dataset waar we mee bezig zijn. Zoals te zien is in het voorbeeld, wordt het geometrische gemiddelde aanbevolen als het gegevens zijn die zich dicht bij een geometrische progressie gedragen en de meest exponentiële groei hebben.
In andere situaties, meestal gebruiken we de rekenkundig gemiddeldebijvoorbeeld het gemiddelde gewicht van een persoon in de loop van het jaar. Bij het vergelijken van de berekening van twee soorten gemiddelden voor dezelfde dataset, zal de meetkundige altijd kleiner zijn dan de rekenkundige.
Wanneer we de formule voor het rekenkundig gemiddelde vergelijken met de formule voor het geometrische gemiddelde, merken we het verschil op, aangezien de eerste wordt berekend door som van termen verdeeldDe door het aantal termen, terwijl de tweede, zoals we hebben gezien, wordt berekend door de n-de wortel van het product van alle termen.
Voorbeeld 4: Gezien de set (3, 9, 27, 81, 243), realiseer je dat het een P.G. van verhouding 3, aangezien we van de eerste naar de tweede term vermenigvuldigen met drie, van de tweede naar de derde ook, enzovoort. Bij het zoeken naar een centrale waarde om deze verzameling weer te geven, zou dit idealiter de centrale term van de progressie moeten zijn, wat gebeurt als we het geometrische gemiddelde berekenen. Bij het berekenen van het rekenkundig gemiddelde maken grotere waarden de waarde van dit gemiddelde echter te hoog in verhouding tot de termen van de verzameling, en hoe groter de waarde, hoe verder weg van een representatie van de centrale term het rekenkundig gemiddelde zal zijn.
Resolutie:
1e rekenkundig gemiddelde
2e geometrische gemiddelde
Ook toegang: Mode, gemiddeld en mediaana – centraliteitsmaatregelen
opgeloste oefeningen
Vraag 1 - De benzineprijs in Brazilië is de afgelopen maanden flink gestegen. De maandelijkse stijgingen in de laatste 4 maanden waren respectievelijk 9%, 15%, 25% en 16%. Wat was de gemiddelde procentuele stijging in deze periode?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Resolutie
alternatief A
Vraag 2 - Een prisma met een rechthoekige basis heeft hetzelfde volume als een kubus. Wetende dat de afmetingen van het prisma 6 cm lang, 20 cm hoog en 25 cm breed zijn, wat is dan de waarde van de zijkant van de kubus in centimeters?
Resolutie:
alternatief D
Door Raul Rodrigues de Oliveira
Wiskundeleraar
